Beziehungen beweisen und am Pascal'schen Dreieck zeigen

05.03.2009, 21:39

storm0704

Beziehungen beweisen und am Pascal'schen Dreieck zeigen

Guten Abend an Alle Wink

ich habe gerade eine Matheaufgabe vor mir (13. Klasse) und weiß keinen Ansatz. Hoffe Ihr könnt mir auf die Sprünge helfen smile

Und zwar: Zeigen sie, dass folgende Beziehungen gelten und veranschaulichen Sie am pascal'schen Dreieck.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \\ \end{pmatrix} + ... + \begin{pmatrix} n \\ n \\ \end{pmatrix} = 2^n \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich keinen Ansatz verwirrt

Ausklammern wird mir zu unübersichtlich, oder was habe ich vergessen?

05.03.2009, 23:10

outSchool

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Hallo,

kurzer Tipp:

$\begin{eqnarray*} 2^n = (1+1)^n \end{eqnarray*}$

oder kennst du den binomischen Lehrsatz

$\begin{eqnarray*} (x+y)^n = ? \end{eqnarray*}$

Zum Pascalschen Dreieck:

Was wird im Pascalschen Dreieck angeordnet?

Ausmultiplizieren von $\begin{eqnarray*} (x+y)^0; (x+y)^1; (x+y)^2 . . . \end{eqnarray*}$ hilft.

06.03.2009, 18:04

storm0704

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Ich komm da nicht drauf. Mist! Aber ist nicht so schlimm, brauche sie nicht mehr, dafür den Ansatz bei folgender Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} -...\pm \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Im pascalschen Dreieck kann mans überprüfen, aber mittels Beweis? Oh mann, sowas ärgert mich immer! böse

06.03.2009, 21:06

outSchool

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Zitat:

Original von storm0704
Ich komm da nicht drauf. Mist! Aber ist nicht so schlimm, brauche sie nicht mehr, dafür den Ansatz bei folgender Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} -...\pm \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Im pascalschen Dreieck kann mans überprüfen, aber mittels Beweis? Oh mann, sowas ärgert mich immer! böse

Die Aufgabe von gestern führt auf die Aufgabe von heute, deshalb brauchst du sie doch noch. Also

Binomischer Lehrsatz
Seien x, y reelle Zahlen und n eine natürliche Zahl. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} (x + y)^n = \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^k \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt für x =1 und für y =1 einsetzt folgt:

$\begin{eqnarray*} (1+ 1)^n = 2^n = \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k}1^k = \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} + ... + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zum Pascalschen Dreieck:

Was wird im Pascalschen Dreieck angeordnet?
Im Pascalschen Dreieck werden die Koeffizienten angeordnet, die beim Ausmultiplizieren von $\begin{eqnarray*} (x+y)^0; (x+y)^1; (x+y)^2 ... \end{eqnarray*}$ auftreten.

Merke dir auch folgende Beziehung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heißt, jede Zahl im Innern des Dreiecks ist die Summe der beiden unmittelbar über ihr stehenden.

Zur Aufgabe von heute
Was musst du für x und y (Binomischer Lehrsatz) einsetzen, damit

$\begin{eqnarray*} (x+y)^n = 0 \end{eqnarray*}$

wird?

06.03.2009, 23:56

storm0704

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Damit das 0 wird, muss x = -y sein...Worauf willst du hinaus?

Danke auf jeden Fall für die Hilfe, jetzt hab ich die erste schonmal verstanden Freude

07.03.2009, 13:30

outSchool

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Zitat:

Original von storm0704
Damit das 0 wird, muss x = -y sein...Worauf willst du hinaus?

Dann probier doch mal x = 1 und y = -1 und rechne die einzelnen Summanden aus.

07.03.2009, 13:34

tmo

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RE: Beziehungen beweisen und am Pascal'schen Dreieck zeigen

Zitat:

Original von storm0704
Und zwar: Zeigen sie, dass folgende Beziehungen gelten und veranschaulichen Sie am pascal'schen Dreieck.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \\ \end{pmatrix} + ... + \begin{pmatrix} n \\ n \\ \end{pmatrix} = 2^n \end{eqnarray*}$

Das fettgedruckte wurde noch nicht richtig behandelt. Dabei ist so offensichtlich Augenzwinkern

Die Gleichung besagt, dass die Zeilensumme sich im pascal'schen Dreieck von Zeile zu Zeile verdoppelt.

Wen wundert's, wenn jede Zahl in die nächste Zeile zweimal eingeht. Einmal mit dem linken Nachbar addiert und einmal mit dem rechten Nachbar addiert.

07.03.2009, 13:47

storm0704

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Zitat:

Original von outSchool

Zitat:

Original von storm0704
Damit das 0 wird, muss x = -y sein...Worauf willst du hinaus?

Dann probier doch mal x = 1 und y = -1 und rechne die einzelnen Summanden aus.

Argh, so einfach ist das Hammer

?

Super, ich habs. Vielen Dank euch Freude

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