diskrete Faltung

05.03.2009, 23:19

eschy

diskrete Faltung

Hallo,
ich sitze heut schon den ganzen Tag an einem Problem und zwar suche ich die Lösung der folgenden Gleichung. Dabei sind fx und fy Filter die von einem Bild die x und y Ableitung zu berechnen. Im konkreten verwende ich für beide Richtungen einen [-1 1] Filter. Mir würde die Lösung von g für diesen Fall reichen, aber ein allgemeiner Lösungsweg wäre noch das i-Tüpfelchen smile

$\begin{eqnarray*} g * [(f_{x}(-x,-y) * f_{x}(x, y)) + (f_{y}(-x,-y) * f_{x}(x, y))] = \delta \end{eqnarray*}$

rettet mich vor dem Wahnsinn
Danke

05.03.2009, 23:23

eschy

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Achso, ich hätte vielleicht noch sagen sollen, dass ich die Lösung nach g suche

sorry für den Doppelpost, aber kann als Gast ja nicht editieren

06.03.2009, 19:45

Dual Space

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RE: diskrete Faltung

Zitat:

Original von eschy
Mir würde die Lösung von g für diesen Fall reichen, aber ein allgemeiner Lösungsweg wäre noch das i-Tüpfelchen smile

Neehe ---> Prinzip "Mathe online verstehen!". Augenzwinkern

07.03.2009, 02:07

eschy

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Ich saß da dran gestern einige Stunden.. und ich wollte halt jetzt mal sehen ob wer anders drauf kommt, weil ich mir absolut nicht sicher war mit dem was ich berechnet hab, aber gut hier meine Variante:

zuerst hab ich die Faltung der [-1 1] Filter berechnet, das ist [-1 2 -1] und für y der gleiche transponiert und noch um einen Offset um y=1 und x=1 verschoben, dass sie sich zu der 3x3 Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die bezeichne ich jetzt erstmal weiter als h
d.h. die Gleichung lautet nun
$\begin{eqnarray*} g*h=\delta \end{eqnarray*}$
die Faltung lässt sich hier per Fouriertransformation zu einer Multiplikation vereinfachen.
Die Transformierten hier mit Großbuchstaben
$\begin{eqnarray*} G \cdot H=1 \end{eqnarray*}$

d.h. ich habe eine diskrete Fouriertransformation durchgeführt zunächst auf die Zeilen von h und anschließend auf die Spalten der bereits transformierten Zeilen

dabei kam folgende Matrix raus
$\begin{eqnarray*} H = \begin{pmatrix} 0 & -1.5 & -2.6 \\ -1.5 & 1.5 & 2.6 \\ -2.6 & 2.6 & 4.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich hab leicht gerundet, aber die zweite und dritte Zeile waren/sind linear abhängig.

so normal würde man ja jetzt sagen gut, muss man ja nur noch rechtseitig mit der Inversen von H multiplizieren, aber pustekuchen.. durch die lineare Abhängigkeit der beiden Zeilen gibts die nicht..
also habe ich die dritte Zeile gestrichen und versucht eine Pseudoinverse per Singulärwertzerlegung zu berechnen.

da kam Raus $\begin{eqnarray*} H^{-1} = \begin{pmatrix} -0.106 & -0.106 \\ -0.24 & 0.24 \\ -0.418 & 0.418 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt nur noch
$\begin{eqnarray*} G = H^{-1} \end{eqnarray*}$
mit der inversen diskreten Fouriertransformation
da kam ich letztendlich auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -0.2 & -1 \\ -0.2 & 2 \\ -0.2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so, die Schritte wo ich mir nicht 100% sicher war ob mein h stimmt, ob die DFT so stimmt, bzw. richtig durchgeführt wurde (die Transformation an sich hab ich durch die Funktion aus der opencv library durchführen lassen), ob es richtig war einfach nur ne Zeile von H zu streichen, ob meine Pseudoinverse stimmt und analog zur Hintransformation die Rücktransformation

so Dual Space
und jetzt kommst du :P

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