gleichmäßig stetig

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sunmysky Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmäßig stetig
Hallo an alle.
ich sitze gerade über der gleichmäßigen Stetigeit. Dabei bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, die mir Kopfzerbrechen bereitet.

sei gleichmäßig stetig in [0;1].

D.h. ja:

Verstanden hab ich dass so, dass unabhängig von den Punkten e(f(x),f(y)) kleiner als ein vorgegebenes sein muß. Aber welches wähl ich und wie groß ist , wenn dies von abhängt???

Könnt ihr mir bitte helfen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Was soll denn das bedeuten? Und was soll dein erster Satz nach der Definition aussagen? Der ergibt irgendwie grammatikalisch keinen Sinn.

wählst du gar nicht, das wird beliebig vorgegeben. Du musst dann dazu ein wählen, was nur von abhängt, aber nicht von oder , sodass die angegebene Bedingung erfüllt ist. Das Wichtige ist, dass das dabei nicht von den betrachteten Stellen und abhängt, das ist der Unterschied zur normalen Stetigkeit.
sunmysky Auf diesen Beitrag antworten »

Na e ist der Abstand zwischen den Funktionswerten f(x) und f(y) (Metrik). Wenn ich nun also gegeben habe, muß ich versuchen durch Umformen auf kommen und so dann bestimmen, oder??? Aber wie bei der Aufgabe mach ich das???
sunmysky Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich fang einfach mal an.





durch quadrieren:

Aber jetzt weiß ich nicht weiter.
Wie komm ich denn von
auf ???
Oder ist der Ansatz falsch?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz ist schon ok, nur führt dieser Standardweg bei dieser Funktion nicht zum Ziel. Du könntest aber z.B. folgende Ungleichung nutzen:

.

Diese lässt sich relativ einfach durch Quadrieren beweisen.
sunmysky Auf diesen Beitrag antworten »

Ja okay, das klappt. Danke vielmals.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie hast du die Ungleichung gezeigt? Augenzwinkern
IgnazIII Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin zwar nicht sunmysky, aber ist das so ok?



[<--- technische Frage: Wie verhindere ich, dass Latex alle Symbole ohne Leerzeichen zusammenschreibt?]



Es gilt:
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IgnazIII

Diese Ungleichung ist falsch. Was ist denn für ? Dann ist die rechte Seite gar nicht definiert. Eine Begründung dafür ist es erst recht nicht.

Es gilt für alle Zahlen die Ungleichung , wie man durch Quadrieren sofort einsieht. Daraus folgt



und analog durch Vertauschung der Variablen auch umgekehrt, also

.

Dann sieht man, dass das Gewünschte leistet.
sunmysky Auf diesen Beitrag antworten »

Da ward ihr schneller als ich. Ich wollte es gerade mit Hilfe der Dreiecksungleichung beweisen.
Also dann. Nochmal vielen Dank.
IgnazIII Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von IgnazIII

Diese Ungleichung ist falsch. Was ist denn für ? Dann ist die rechte Seite gar nicht definiert. Eine Begründung dafür ist es erst recht nicht.

Es gilt für alle Zahlen die Ungleichung , wie man durch Quadrieren sofort einsieht. Daraus folgt



und analog durch Vertauschung der Variablen auch umgekehrt, also

.

Dann sieht man, dass das Gewünschte leistet.


Aber hast du jetzt nicht in der vorletzten Zeile die gleiche Ungleichung wie ich, außer das du verwendet hast?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, betrachte deine vorletzte Zeile genau.
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