Differentialgleichungen

Neue Frage »

Klaus91 Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen
Hallo zusammen! ich habe mir für meine Facharbeit in der 12. das Thema "Darstellung der Weltbevölkerungsprognose durch das logistische Wachstum" vorgenommen.

Nur komm ich nicht ganz damit klar, die Differentialgleichung des logistischen Wachstums aufzulösen...

f'(x) = k * f(t) * (S-f(t))

wobei S die obere Grenze des Wachstum ist,
f(t) der aktuelle Bestand und (S-f(t)) die noch vorhandene Kapazität ist!

Nur wie löse ich die Gleichung auf!?

Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet?

lg Klaus
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen
siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
Klaus91 Auf diesen Beitrag antworten »

da ist es für mich nicht genaz verständlich iwie... mit der partialbruchzerlegung etc....
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte dir sogar bei deinen Verständnisproblemen helfen wenn du diese nicht mit "iwie" und "etc" beschreibst.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiß die Partialbruchzerlegung! Die Zeile darunter kannst du mit den Regeln zum Bruchrechnen nachvollziehen. Ansonsten: siehe system-agent
Klaus91 Auf diesen Beitrag antworten »

um auf die Zeile darunter zugelangen, muss man aber erst die partialbruchzerlegung anwenden... oder meinst du "zeile 2" is das gleiche wie "zeile 4"... 1/ab is ja auch nicht das gleiche wie 1/a + 1/b .....

also ich versteh halt nicht wie man von der 2. zur dritten zeile kommt -> sprich die partialbruchzerlegung

die besagt, das a1/(x-z1)^i + a2/(x-z2)^i das gleiche ist wie b+cx/(x²+px+q)

nur angewendet auf die zeile 3, komm ich nicht ganz mit....
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst halt lesen, was da steht. Von der 2. Zeile kommt man überhaupt nicht zur 3. Zeile. Die 3. Zeile ist lediglich eine Umformung der linken Seite in der 2. Zeile. Diie Umformung ist:



Das ist hier schon die ganze Partialbruchzerlegung. Dann wird das 1/G noch aus dem Integral herausgezogen. Das Ergebnis wird in die 2. Zeile eingesetzt und ergibt die 4. Zeile.
Klaus91 Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist mir klar...das die zerlegung nur auf der linken seite angewandt wird...

nur ich erkenne die allgemeine form der partialbruchzerlegung dort nicht wieder und kann das somit nicht ganz verstehen....
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Klaus91
nur ich erkenne die allgemeine form der partialbruchzerlegung dort nicht wieder ...

Das liegt daran, dass hier eine besonders simple Form der Partialbruchzerlegung vorliegt. Deshalb ist der Hinweis auf diiese eigentlich überflüssig. Die Rolle von x in der von dir auffgeführten allgemeinen Form übernimmt hier f. Man hat dann einen Fall mit b = 1, c = 0 und q = 0, wobei der Nenner schon faktorisiert geschrieben ist.
Klaus91 Auf diesen Beitrag antworten »

achsoo okay...

aba wie komm ich dann von dem 1+0x zu a1 und a2 ? sprich zu dem 1/G?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder, man sieht/ahnt das Ergebnis und verifiziert es, indem man einfach mal



ausrechnet. Oder man geht den systematischen Weg und setzt an:



mit zu bestimmenden a und b. Nach Multiplikation mit f(G - f) hat man:



Links und rechts steht ein Polynom in f. Polynome sind genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind. Koeffizientenvergleich ergibt:



also

Klaus91 Auf diesen Beitrag antworten »

wieso muss man davon ausgehen, dass die polynome gleich sind, um auf ein ergebnis zu kommen?? die koeffizienten könnten doch auch unterscheidlich sein oder nicht?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ausdrücke sollen doch für beliebige Werte von f gleich sein.
Klaus91 Auf diesen Beitrag antworten »

mom... könntest du dein links und rechts mal etwas genauer definieren? ^^
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Links:



Rechts:



Die Koeffizienten von und müssen gleich sein, wenn für beliebiges f Links = Rechts gelten soll.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »