Integrationsaufgabe Stufe 11 "LK"

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07.03.2009, 00:47	memath	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsaufgabe Stufe 11 "LK" Hallo, ich gehe in die 11. Klasse und bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe. Ich habe jedoch schon einen Ansatz Die Aufgabe: Die abgebildete rote Fläche unter der Parabel soll durch eine horizontale Gerade halbiert werden. Wo liegt diese? $\begin{eqnarray} f(x) = 3 - 3 \cdot x^{2} \end{eqnarray}$ Edit (mY+): Externen Link entfernt! Bild hier hochladen! [attach]9995[/attach] Nach der grundlegenden Flächenberechnung ( $\begin{eqnarray} A = 4 \end{eqnarray}$ , gesuchte Fläche demzufolge $\begin{eqnarray} A_{n} = 2 \end{eqnarray}$ ) geht mein Ansatz in die Richtung, dass man davon ausgeht, man wüsste, wo die Gerade liegt, also $\begin{eqnarray} y = a \end{eqnarray}$ . Anschließend sieht der Integral für die Berechnung dieser neuen Fläche, die durch die Funktionen f und y begrenzt wird, folgendermaßen aus. Voraussetzung dafür sind die Schnittpunkte von f und y: $\begin{eqnarray} x_{s1} = -\sqrt{1- \frac{a}{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{s2} = \sqrt{1- \frac{a}{3}} \end{eqnarray}$ Also der Integral: $\begin{eqnarray} A_{n} = \int_{-1}^{-\sqrt{1- \frac{a}{3}}}f(x)~dx + \int_{-\sqrt{1- \frac{a}{3}}}^{\sqrt{1- \frac{a}{3}}}y~dx + \int_{\sqrt{1- \frac{a}{3}}}^{1}f(x)~dx \end{eqnarray}$ Jetzt meine Frage: Lohnt es sich an dieser Stelle weiterzumachen? Man könnte jetzt die Stammfunktionen usw. aufstellen und dann hoffen, dass man auf einen Wert für a kommt. Zweiter Ansatz: In der Ausgangsfunktion f einen y-Schiebeparameter einfügen und versuchen, damit auf irgendeine Lösung zu kommen. Ich hoffe, jemand von euch hat Lust und Zeit mir zu helfen Danke im Voraus
07.03.2009, 02:27	Jono	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Bin mir nicht ganz sicher, aber spontan würde ichs so machen: Gesucht: zwei Parameter d. Funktion zwischen deren Funktionswerten diese Halbierungslinie liegen soll. Diese seien x1, x2 Aufgund d. Symmetrie betrachten wir jetzt mal nur die rechte Seite d. Funktion (mit x >= 0) Hier muss die Fläche der oberen Hälfte des Integrals ja dann genau 1 sein. Diese wird beschrieben durch: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{x_1}~f(x)-f(x_1)~dx = 1 \end{eqnarray}$ Integriert und vereinfacht müsse es in etwa so aussehen: $\begin{eqnarray} -x_1^3 + 3x_1^3 = 1 \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} x_1 = \sqrt[3]{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ in die ausgangsfunktion eingesetzt: $\begin{eqnarray} 3 - 3( \sqrt[3]{\frac{1}{2} })^2 = 1.11 \end{eqnarray}$ und somit wäre g(x) = 1.11 deine Gerade Korrigiert mich, wenn ich Quatsch erzähle ;-) Hoffe, ich konnte etwas helfen, Gruß
07.03.2009, 09:14	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int\limits_{-\sqrt{1-\frac{a}{3}}}^{\sqrt{1-\frac{a}{3}}} (f(x)) \,dx=2 \end{eqnarray}$
07.03.2009, 11:32	memath	Auf diesen Beitrag antworten »
@Jono: Ich verstehe nicht ganz, wie du das meinst. Aber das Ergebnis scheint richtig zu sein ;-) Die Halbierungslinie muss zwischen 0 und 3 liegen, meinst du das mit den Parametern? Was davon soll jetzt x1 sein? Erst dann versteh ich deinen Integral, denk ich mal. Danke für die Mühe =)
07.03.2009, 14:11	Luc_Alla_Yeah	Auf diesen Beitrag antworten »
er hat anstatt die gesamte fläche auszurechnen nur die halbe fläche ausgerechnet (von x=0 bis x=x1). dies ist möglich da die funktion achsensymmetrisch ist. der "halbe Flächeninhalt" schrumpft dadurch natürlich auch 1/4 (=1). Dieser Schritt ist eigentlich sehr gut, ob der Rest stimmt kann ich mir gerad leider nicht angucken.. muss zur Probe bis dann
07.03.2009, 16:11	Jono	Auf diesen Beitrag antworten »
genau, wegen der Symmetrie betrachte ich nur die rechte Hälfte der Funktion. Parameter sind die Werte, die man in eine Funktion einsetzt z.b. f(x) dann ist x der Parameter mit x1 meine ich dann den Punkt, an dem sich die Ausgangsfunktion mit der Halbierungslinie schneiden gruß
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07.03.2009, 19:45	memath	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich ja auch alles, da liegt nicht das Problem. Nur kann ich mir die Fläche, die du mit $\begin{eqnarray} \int_{0}^{x_1}~f(x)-f(x_1)~dx = 1 \end{eqnarray}$ berechnen willst, nicht vorstellen. f(x) - f(x1) wäre ja eine neue Funktion. Und aus diesem Grund weiß ich auch nicht, wie du auf $\begin{eqnarray} -x_1^3 + 3x_1^3 = 1 \end{eqnarray}$ kommst. Wahrscheinlich ist es ganz einfach, nur irgendjemand steht auf dem Schlauch oder hält die Tür zu...
07.03.2009, 20:46	memath	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, okay, okay. Was du mit $\begin{eqnarray} \int_{0}^{x_1}~f(x)-f(x_1)~dx = 1 \end{eqnarray}$ meinst, weiß ich jetzt. Die Funktion f minus der Funktionswert des Schnittpunktes von f und der Halbierungslinie muss unweigerlich die obere Hälfte ergeben, das verstehe ich. Jetzt scheitert es nur noch an dem Schritt zu $\begin{eqnarray} -x_1^3 + 3x_1^3 = 1 \end{eqnarray}$ . Nochmal Schritt für Schritt. Ich integriere jetzt folgendermaßen: $\begin{eqnarray} A_{n} = 1 = \int_{0}^{x_1}~f(x)-f(x_1)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{n} = 1 = [3x - x^{3} - ...] \end{eqnarray}$ Bei den Punkten müsste jetzt die Integration von f(x1) folgen. Das hieße also die gleiche Integration wie f(x), nur mit dem Schnittpunkt $\begin{eqnarray} x_{1} = \sqrt{1- \frac{a}{3}} \end{eqnarray}$ eingesetzt. Aber das kanns ja nicht sein. Oder?
07.03.2009, 20:47	Luc_Alla_Yeah	Auf diesen Beitrag antworten »
er hats falsch aufgeschrieben, was er meint ist wohl: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{x_1}~f(x)~dx \end{eqnarray}$ was nämlich dasselbe ist wie: $\begin{eqnarray} F(x_1)-F(0) \end{eqnarray}$ (F = Stammfunktion)
07.03.2009, 21:49	memath	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, ich habe es verstanden. Komme letztendlich auch auf ~ 1,11, was dann gerundet A = 1 ergibt. Vielen, vielen Dank für die Hilfe!

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