teilraum unsicherheiten

07.03.2009, 12:05	geo	Auf diesen Beitrag antworten »
teilraum unsicherheiten hallo an alle! ich hab eine frage zur bestimmung von TR. B = { (x1,x2,x3) : x1 - 2x2 +3x3 = 4 } ist das ein TR? ich nehme mir einen einen 2. vektor mit den elementen (y1,y2,y3) und schreibe diesen in der selben bedingung an. nun gut: es muss ja gelten, wenn beide vektoren elemente des TR sind, dann muss ja auch die summe drin liegen. ich addiere: x1 + y1 - 2(x2 + y2) + 3(x3 + y3) = 8 ist das der ganze beweis für das erste zu überprüfende axiom? ich mein, die struktur sieht aus wie gefordert.... ALLERDINGS: der nullraum ist nicht enthalten weil 0 - 20 + 30 =4 ist ein widerspruch. bin ich somit fertig? und mein 2. beispiel wäre: A = { (x1,x2,x3) : x1 + x2 =< 1 } der nullraum ist enthalten - schön. definiere wieder einen 2. vektor und addiere: aber: addiere ich die rechte seite auch? sprich: wird aus den 2 bedingungen x1 + x2 =< 1 + y1 + y2 =< 1 nun x1 + y1 + x2 + y2 =< 2 ??? wenn ja, dann denk ich bis jetzt, dass es ein TR ist, wenn ich aber als bsp die vektoren $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{y} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ hernehme, ists kein TR mehr, weil ja 1 + 1 = 2 ist... ihr seht, am verständnis happerts no... danke für alle mitgedanken und antworten... und, danke FÜR DIESES MATHEBOARD!! PS: hab mir mit der suchfunktion andere beiträge angeschaut, aber bin nit schlauer geworden...
07.03.2009, 12:17	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Beide Mengen sind keine Untervektorräume des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , da bist du letztendlich ja auch draufgekommen. Bei B ist es wirklich am einfachsten, einfach direkt zu sagen, dass der Nullvektor (nicht Nullraum) nicht in B enthalten ist, womit die Aufgabe sofort erschlagen ist. Und wenn du das mit der Summe betrachtest: Wenn x und y in B enthalten sind, ist $\begin{eqnarray} z = x+y \end{eqnarray}$ sicherlich nicht enthalten, denn wie du ja gezeigt hast, gilt dann $\begin{eqnarray} z_1-2z_2+3z_3=8 \neq 4 \end{eqnarray}$ Also folgt auch daraus schon, dass es kein Teilraum ist. Und bei A ist das beste einfach ein Beispiel für 2 Vektoren aus A, deren Summe nicht in A liegt. Wenn eine Menge kein Vektorraum ist, ist das meistens das einfachste um dies zu zeigen. Man nimmt ein einziges Beispiel, das den Vektorraumaxiomen widerspricht.
07.03.2009, 12:28	geo	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke tmo! also lieg ich nicht soooo daneben mit meinen gedanken...

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