Kreiskegel und Parabel

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Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »
Kreiskegel und Parabel
Hallo Freunde des Zeichnens, dreidimensionalen Denkens und des Knobelns.

Bevor ich die Aufgabe stelle schicke ich vorweg, dass diese meiner eigenen Feder entstammt, und ich keine Lösung brauche, weil ich sie mir bereits erarbeitet habe.

Ich sage dies, weil ich in einem "Knobelforum" auf viel Widerstand gestoßen bin, weil die Aufgabenstellung vielen nicht klar war... (Auch eine Skizze half nichts)

Also denn:

Gegeben ist ein Kreiskegel mit dem Durchmesser 6,5 (alles in LE).
Seine Höhe h beträgt 5,3.

Ich möchte wissen, wenn parallel zur Mantellinie ein Schnitt durch den Kegel geführt wird (der ja bekanntlich eine Parabel zur Folge hat), wo er ausgeführt werden muss, damit die Fläche des Schnittes genau der einer Normalparabel entspricht.

Mit anderen Worten:
Legt man den Kegel als Dreiecksfläche in ein KS mit der Grundfläche (Kreis) auf die Abszisse und die Kegelspitze auf die Ordinate, wie lautet dann die Schnittgerade als Funktion?

Oder auch: wie lang ist die Strecke/ Gerade, die vom Scheitelpunkt der Parabel bis zum Mittelpunkt der größten Öffnungsweite verläuft?

Tipp: Es kommt natürlich auf die wahren Längen an und man braucht weder den Solver eines TR's noch die Differentialrechnung.

[attach]9994[/attach]

Viel Spaß

Wer unbedingt will, schaut sich diese Zeichnung von mir an:
Edit (mY+): Link entfernt! Dein Bild hier im Board hochladen!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreiskegel und Parabel
Zitat:
Original von Rechenschieber
Hallo Freunde des Zeichnens, dreidimensionalen Denkens und des Knobelns.

Bevor ich die Aufgabe stelle schicke ich vorweg, dass diese meiner eigenen Feder entstammt, und ich keine Lösung brauche, weil ich sie mir bereits erarbeitet habe.

Ich sage dies, weil ich in einem "Knobelforum" auf viel Widerstand gestoßen bin, weil die Aufgabenstellung vielen nicht klar war... (Auch eine Skizze half nichts)

Also denn:

Gegeben ist ein Kreiskegel mit dem Durchmesser 6,5 (alles in LE).
Seine Höhe h beträgt 5,3.

Ich möchte wissen, wenn parallel zur Mantellinie ein Schnitt durch den Kegel geführt wird (der ja bekanntlich eine Parabel zur Folge hat), wo er ausgeführt werden muss, damit die Fläche des Schnittes genau der einer Normalparabel entspricht.

Mit anderen Worten:
Legt man den Kegel als Dreiecksfläche in ein KS mit der Grundfläche (Kreis) auf die Abszisse und die Kegelspitze auf die Ordinate, wie lautet dann die Schnittgerade als Funktion?

Oder auch: wie lang ist die Strecke/ Gerade, die vom Scheitelpunkt der Parabel bis zum Mittelpunkt der größten Öffnungsweite verläuft?

Tipp: Es kommt natürlich auf die wahren Längen an und man braucht weder den Solver eines TR's noch die Differentialrechnung.


Viel Spaß

Wer unbedingt will, schaut sich diese Zeichnung von mir an:
Edit (mY+): Link entfernt! Dein Bild hier im Board hochladen!


das ist aber alles andere als klar unglücklich

wie groß ist denn nun (nur ein beispiel) die fläche einer normalparabel, und was ist eine normalparabel verwirrt
wie legt man einen kreis auf die abszisse unglücklich
mehr erspare ich mir, kein interesse Augenzwinkern
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Dann tut es mir aber sehr leid, dass du die Aufgabe nicht verstehst.
Wahrscheinlich hast du auch die Zeichnung von mir nicht geöffnet.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rechenschieber
Dann tut es mir aber sehr leid, dass du die Aufgabe nicht verstehst.
Wahrscheinlich hast du auch die Zeichnung von mir nicht geöffnet.


kann ja nicht jeder so schlau wie du sein
aber ich kann mit meiner dummheit ganz gut leben smile
hw Auf diesen Beitrag antworten »
keines
Bei mir kommen widersprüchliche Informationen an:
Zumindest ich interpretiere eine Normalparabel als y = x².
Wenn DU Deinen Kegel auf die x-Achse stellst, dann hast Du als Schnittparabel etwas in der Art y = -x²+b
Bestenfalls eine verschobene, gedrehte Normalparabel?

Gruß HW
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz.
In meiner Zeichnung ist der Kegel bereits geschnitten.
Nur in der Perspektive ist die "wahre" Parabel in etwa sichtbar (grüne Schnittlinie).
In der Perspektive siehst du ebenfalls eine weitere grüne Linie, die die eigentliche Schnittebene ist.
Stelle dir die komplette Zeichnung als Dreitafelprojektion vor, dann ist diese Schnittebene in der Vorderansicht die Schnittgerade.
 
 
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

@Rechenschieber
Deine Fragestellung finde ich interessant und ich habe darüber schon einmal nachgedacht. Soviel ich in Erinnerung habe, ist die Parabel ja als Ergebnis eines Kegelschnitts definiert, wobei der Schnittwinkel parallel zur Steigung sein muss. (parallel zur Höhe wird's eine Hyperbel?)
Ich werde auf alle Fälle daran arbeiten, es kann aber dauern.

Gualtiero

PS.: Zeichnest Du mit ACAD14?
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich hatte ja erwähnt, dass ich die Lösung habe. Jeder kann hier irgendetwas posten, wenn er meint, eine gefunden zu haben.
Ja, AutoCAD schon, aber die 2000er Windows-Version. (Hatte einen Lehrgang dafür).
Auch mit der kostenlosen Draftboard-Version lässt sich das bewerkstelligen.
Sie sind sogar untereinander kompatibel.
Richtig, Parabeln ergeben sich aus Schnitten parallel zur Mantellinie.

Um einen ungefähren Eindruck bekommen zu können, sei hier ein Tipp angesagt:

Man nehme einen Halbkreis aus Papier mit dem Durchmesser 12 cm und formt ihn sich zu einem Hohlkegel (also die abgewickelte Mantelfläche).
Die genauen Werte sind ja auch errechenbar, aber dass hier soll nur helfen.
Von innen, also im Innenraum des Hohlkegels versucht man die Schablone einer Normalparabel anzulegen (hat man keine, lässt man sie sich plotten und schneidet sie aus einem Karton aus.

Wenn man ganz geschickt ist, nimmt man eine Normalparabel aus einem Flächenstück heraus, etwa mit einem Cutter und legt den Kegel dann an...

[attach]10029[/attach]

[de.wikipedia.org]

LGR
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gualtiero
...
... wobei der Schnittwinkel parallel zur Steigung sein muss. (parallel zur Höhe wird's eine Hyperbel?)
...


NICHT NUR parallel zur Höhe, sondern für alle Lagen der Schnittebene, welche zur Basisebene des (Doppel)kegels steiler stehen als die Mantelerzeugenden (der Böschungswinkel) des Kegels, ist die Schnittkurve eine Hyperbel.

mY+
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Nur zur Sicherheit Deine Aufgabenstellung nochmal zusammengefasst: Ein gerader Kegel mit Radius = 3.25 und Höhe = 5.3 soll so geschnitten werden, dass folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
(1) Die Schnittfläche schließt mit der Ebene der Kegelgrundfläche den Steigungswinkel alpha ein.
(2) Die Schnittfläche geht durch die Höhe des Kegels, also durch die Strecke Fußpunkt - Spitze.
(3) Die Schnittfläche ergibt die Parabel f(x) = x^2.

Ich hab' schon mal zwei Formeln erstellt, die diese Parabel beschreiben, und zwar räumlich geneigt um den Steigungswinkel alpha. Der ist bei mir 58.48306°.
y = x^2 * cos(alpha)
z = y * tan(alpha) * (-1)

Das Schwierigste kommt noch, nämlich das Anlegen der Parabel an den Kegel, so dass sich die Kurve genau an die Oberfläche schmiegt.

Gruß
Gualtiero

DANKE Mythos. (Hab' Deinen Beitrag erst während des Schreibens gesehen.)
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, die Steigung war kein Problem, sie stimmt. Damit hast du schon mal die Parallele definiert.
Nun fehlt entweder der y-Abschnitt, oder die Länge der Schnittgeraden / -ebene.
Nämlich ist dies die Ordinate zwischen Parabelscheitel und der Grundfläche (entlang der grünen Linie in der Perspektive zu erkennen).
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

@Rechenschieber
Eine Lösung kann ich präsentieren, allerdings bin ich auf einem mehr praktisch-technischen denn mathematischen Weg zu ihr gelangt.
r = 3.25
H = 5.3
(1) f(x)=x^2*cos\alpha ist die Projektion der Parabel in die x/y-Ebene.
Den Kegel stelle ich mit dem Mittelpunkt seines Grundkreises in den Ursprung, so dass seine Höhe in der z-Achse liegt und seine Spitze die Koordinaten (0, 0, 5.3) hat. Er wird so geschnitten, dass der Scheitelpunkt der entstehenden Parabel auf der Mantelerzeugenden im negativen y-Bereich und in der y/z-Ebene liegt. Formel (1) wird erweitert zu
. . wobei c der Abstand ist, um den der Scheitelpunkt vom Ursprung weg verschoben wird.
y = f(x)

[attach]10024[/attach]

Die Höhe der Parabelpunkte muss ich mit einer eigenen Funktion beschreiben (das ist das Unschöne daran): h(x) = y * tan\alpha * (-1) bezieht sich noch auf die Parabel, die ihren Scheitelpunkt in der x/y-Ebene hat, und mit

ist sie bereits richtig am Kegel angelegt.
z = h(x).

Die Bestimmung von c habe ich mir so ausgedacht: In den Schnittpunkten der Parabel mit dem Grundkreis ist die Höhe Null, d.h.


Nach c aufgelöst: c = (H - x^2 * sin\alpha) / tan\alpha
Einsetzen in (2):

Aufgelöst nach x^2:

Nachdem die Schnittpunkte auch Elemente des Kegelgrundkreises sind, gilt:
x^2 + y^2 - r^2 = 0
Hier das vorhin gewonnene x^2 eingesetzt ergibt folgende quadratische Gleichung:


p/q-Verfahren . . .

y1 = 2.2935, y2 = -3.25 (= negativer Radius!)
Mit y1 und r lassen sich leicht die x-Werte für die beiden Schnittpunkte ausrechnen: S1=(2.3027 / 2.2935), S2=(-2.3027 / 2.2935)
Mit den Koordinaten eines Schnittpunktes kann dann durch Einsetzen in die Gleichung (2) c errechnet werden. c = 0.47824 (= -p/2!)
Scheitelpunkt der Parabel: (0 / -0.47824 / 4.52)

[attach]10025[/attach]

Herzliche Grüße
Gualtiero
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Wow,
du bist der Typ, der sich gerne mit solchen Sachen befasst und auch richtig hineinversetzen kann.
So wie ich es sehe, ist der mathematische Aufwand doch gleich, wenn nicht größer als der technische.
Wenn ich dir nun jetzt sage, dass du vor Erstaunen umfällst, dass du weder Trigonometrie, noch ein Annäherungsverfahren (Solver) brauchst, sondern nur den Strahlensatz und eine klitzekleine quadratische Gleichung, was sagst du dann?

Die Scheitelpunktbestimmung ist dir ausgezeichnet gelungen. Freude smile

Und mit der Funktion der Normalparabel und der Steigung, die du bereits hast, brauchst du nur noch die Länge der Ordinate.

LGR
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sich für die Maße des Kegels dieselbe Längeneinheit wie für das -Koordinatensystem der Parabel vorgibt, dann ergibt sich genau dann eine Parabel der Form , wenn der Abstand der Parabelebene von der zu ihr parallelen Mantelgeraden den Wert



besitzt. sind Höhe bzw. Grundkreisdurchmesser des Kegels.
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Stark.
Hab ich in dieser Form auch noch nirgendwo gelesen.

Gibt's dazu eine Literatur ? Vielleicht findet man da noch mehr solche schönen Sachen. smile

LGR
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreiskegel und Parabel
@Rechenschieber, diese Frage:
Zitat:
Original von Rechenschieber
Oder auch: wie lang ist die Strecke/ Gerade, die vom Scheitelpunkt der Parabel bis zum Mittelpunkt der größten Öffnungsweite verläuft?


habe ich ganz überlesen. Ist aber der leichteste Teil der Aufgabe und besteht darin, ein rechtwinkliges Dreieck aufzulösen, wobei die gesuchte Strecke die Hypothenuse ist.
Eine Kathete ist die Höhe des Scheitelpunktes, 4.52, die andere K. setzt sich zusammen aus dem y-Wert der Schnittpunkte und c (alles bezogen auf mein Lösungsmodell).
Daraus ergibt sich 5.302 für die gesuchte Länge.

Aber wie Du das mit Strahlensatz und ohne Trigonometrie löst, ist mir schleierhaft. Verräts Du wenigstens ein paar Stichworte? Bin wirklich neugierig.

Leopolds Lösung ist das, was ich unter mathematisch verstehe.


Gualtiero
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, da ja Leopold eine Formel gefunden hat, ist es mit dieser noch leichter als mit meiner.
Ich suche gerade nach der Herleitung dafür.

Mein Lösungsweg war folgender:

[attach]10042[/attach]

Edit (mY+): Externer Link entfernt. Bild direkt hochgeladen.

Die drei Ansichten stellen den Kegel links oben von vorne, rechts oben (um 90° nach rechts gedreht) von der Seite und unten links von oben dar. In dieser Draufsicht habe ich eine 12er-Teilung eingezeichnet, die den Mantellinien des Kegels entsprechen.

Wenn es nun eine Schnittfläche gibt, die sich mit der Normalparabel deckt, dann wäre c' die wahre Länge, bzw. Ordinate dieser Parabel (x²). Der Abstand d ist die halbe Öffnungsweite an der Grundseite die in der Drauf-, wie auch Seitenansicht denselben wahren Betrag hat. Diesen Betrag quadriert soll dann c' ergeben. {Im KS sozusagen P [x|f(x)]}

Gegeben waren: a=6,5 h=5,3 somit c=6,2171 (Pythagoras)


Mithilfe der Zeichnung stelle ich nun folgende Gleichungen auf:
Zunächst den Strahlensatz:

(a-x)/a = c'/c (1);
d² = c' (2);
R²-r² = d² (3);
x = R-r (4) Anm.: a = 2*R


Nun ist es ein Leichtes, die Gleichungen bis nach r aufzulösen (mit Leopolds Formel hätte ich mit x weiter gerechnet), sodass nur noch die quadratische Gleichung

r²+0,956478996*r-7,4539433=0
entsteht.

Dies liefert den reellen Wert 2,29352 (und -3,25)

r wird nun vom Mittelpunkt abgetragen und lotrecht an den Kreis geführt, so dass sich für d = 2,303 ergibt. Quadriert erhält man c' mit 5,303 an der Stelle x parallel zur Mantellinie.

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit y = 1,63077x + 3,74

Zum Schluss will ich noch erzählen, wie ich darauf kam:
In alten Spielsachen fand ich meine Rotring-Schablone der Normalparabel genau in so einem Hohlkegel liegen und dieser Kegel hatte genau die Innenmaße.
Es mag Zufall sein dass der Schnitt so gut wie die Kegelhöhe ist, aber nichts desto trotz konnte ich relativ genau die Werte ablesen und vergleichen.

Viel Spaß beim Nachvollziehen.

LGR
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »
@mYthos
@mYthos,

ich habe versucht, zwischen den Tags das Bild direkt hochzuladen, finde aber nicht die genaue Erklärung für die Vorgehensweise.

Sei bitte so gut, und editiere das noch einmal.

Ferner würde ich gerne diese interessante Diskussion als pdf-Datei archivieren und dazu wünsche ich, dass der Beitrag von "riwe" aus diesem Thread genommen wird.

Wenn ich mich schon nicht dafür interessiere, brauche ich es auch nicht zu erwähnen.
Ich frage mich, wes geistes Kind er ist, im Alter von 68 Jahren ein Zitat in Form eines ganzen Beitrages zu posten, der unmittelbar darüber steht...
Ich habe mal ein paar seiner hier geposteten Beiträge gelesen....
Es wäre nett, wenn dann auch dieser, nur an dich gerichtete Beitrag, ebenfalls nicht erscheint.
Allerbesten Dank
LGR
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo @Rechenschieber,

es ist so, dass Beiträge aus einem Thread prinzipiell NICHT gelöscht werden, es sei denn, schwerwiegende Regelverstöße geben zu einer Zensur Anlass. Und dazu gehört werner's Beitrag nun wirklich nicht.

Aber du kannst etwas anderes machen: Speichere die ganze Seite lokal (auf deiner Platte) als HTML-File und editiere dann jene Passagen heraus, die du nicht darin haben willst. Das kannst du auch ohne besondere HTML-Kenntnisse sogar mit einem Texteditor machen. Danach drucke dieses Dokument auf dem PDF-Drucker als PDF-Dokument aus, und erledigt ist das.

Bilder hochladen geht so: Im Beitrag auf Dateianhänge klicken, durchsuchen, speichern, [attach] - Link kopieren, an der gewünschten Stelle einfügen. Dabei auf die zulässigen Datei-Spezifikationen nicht vergessen (Größe anpassen).

Wo genau willst du eigentlich, dass dein Bild erscheinen soll? Ich hatte dein Bild zunächst lokal gespeichert, dann entsprechend adaptiert und wie beschrieben, hochgeladen.

Gr
mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: @mYthos
Zitat:
Original von Rechenschieber
@mYthos,

ich habe versucht, zwischen den Tags das Bild direkt hochzuladen, finde aber nicht die genaue Erklärung für die Vorgehensweise.

Sei bitte so gut, und editiere das noch einmal.

Ferner würde ich gerne diese interessante Diskussion als pdf-Datei archivieren und dazu wünsche ich, dass der Beitrag von "riwe" aus diesem Thread genommen wird.

Wenn ich mich schon nicht dafür interessiere, brauche ich es auch nicht zu erwähnen.
Ich frage mich, wes geistes Kind er ist, im Alter von 68 Jahren ein Zitat in Form eines ganzen Beitrages zu posten, der unmittelbar darüber steht...
Ich habe mal ein paar seiner hier geposteten Beiträge gelesen....
Es wäre nett, wenn dann auch dieser, nur an dich gerichtete Beitrag, ebenfalls nicht erscheint.
Allerbesten Dank
LGR


na da frage ich mich erst recht, wes geistes kinderl du bist.

ich habe so viel charakter, zu meinen beiträgen zu stehen.

mehr kommentar gibt es von meiner seite zu deinem kindischen zeugs nicht mehr
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos

Danke.
Die Boards sind viel zu umfangreich für mich, dass ich nicht mal deine Frage verstehe.
Ich denke doch da, wo ich den link hingeschrieben habe, dass das Bild da erscheint.
So hast du es in meinem ersten Beitrag doch auch gemacht, obwohl ich nicht wollte, dass direkt mit der Nase drauf gestoßen wird.
Es war gedacht, aufgrund meiner Angaben die Aufgabe zu lösen. (Aber angesichts der Schwierigkeit diese Aufgabe zu lösen, ist es ok).
Diesmal ist es umgedreht, da habe ich meine neue Zeichnung ja erklärt.

Mal bbcodes, mal html, mal tags, tex, Latex und all der Rattenschwanz, na ja...man wird halt alt. Und dann nur 15 Min Zeit, um eigene Beiträge zu korrigieren, vieeeel zu wenig.

Also, danke nochmal, wenn du's überschaust.
LGR
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

** DONE **

mY+
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, lieber mYthos, das Bild erscheint nicht bei mir.
Egal, so lange Gualtiero die Zeichnung aufrufen und darauf antworten kann, ist es ok.
LGR
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

@Rechenschieber
Danke für Deine ausführliche Antwort. Ich werde das nochmal in Ruhe durchgehen.

Was das Bild betrifft: Ich sehe es auch nicht, nur einen kleinen weißen button mit einem roten Kreuz drin. Der Link auf [EDIT mY+] . . . . funktioniert noch, da habe ich eine Zeichnung mit drei Kegelansichten gefunden, auf die sich Deine Erklärungen beziehen.

Mit dem Bilderhochladen hatte ich anfangs auch Probleme. Ich lasse Dir was zukommen, wenn Du einverstanden bist.

Gualtiero
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste jetzt behoben sein. Es war nämlich nicht nur ein Bild, welches noch zu bearbeiten war.

Es ergeht nochmals die dringende Bitte, keine Links zu externen Bildcontainern zu verankern, sondern die Biilder hier im Forum direkt hochzuladen. Wie das geht (und es geht leicht), habe ich beschrieben.

mY+
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