lineare Abbildung

10.09.2006, 16:31

kingskid

lineare Abbildung

hi!
hab ein paar fragen zu linearen Abbildung, wär super, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!
wenn ich eine lineare Abbildung von einem VR V -> W angeben soll, dann muss ich mir ja erstmal in beiden VR Basen bestimmen, oder?

also sei $\begin{eqnarray*} (a_1,...,a_n) \end{eqnarray*}$ Basis von V und $\begin{eqnarray*} (b_1,...,b_n) \end{eqnarray*}$ Basis von W.
da die beiden die gleiche dimension haben, kann man sagen, dass sie isomorph sind?
und dann könnte ich diesen isomorphismus angeben:
$\begin{eqnarray*} \psi(a_i) = b_i \end{eqnarray*}$ ?

und wenn sie unterschiedliche dim haben, also $\begin{eqnarray*} (b_1,...,b_m) \end{eqnarray*}$ könnte ich dann so einen Homomorphismus angeben:

$\begin{eqnarray*} \psi(a_i) = \sum_{j=1}^m~a_{ji} b_j \end{eqnarray*}$ ? oder muss es $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ heißen ?

und noch eine vielleicht etwas komische frage, aber kann man einen Basiswechsel ohne einen Endomorphismus beschreiben?

viele grüße

10.09.2006, 17:56

therisen

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RE: lineare Abbildung

Zitat:

Original von kingskid
wenn ich eine lineare Abbildung von einem VR V -> W angeben soll, dann muss ich mir ja erstmal in beiden VR Basen bestimmen, oder?

Wozu? Die triviale Abbildung $\begin{eqnarray*} O: v \mapsto 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ ist doch schon ein Homomorphismus.

Zitat:

Original von kingskid
also sei $\begin{eqnarray*} (a_1,...,a_n) \end{eqnarray*}$ Basis von V und $\begin{eqnarray*} (b_1,...,b_n) \end{eqnarray*}$ Basis von W.
da die beiden die gleiche dimension haben, kann man sagen, dass sie isomorph sind?
und dann könnte ich diesen isomorphismus angeben:
$\begin{eqnarray*} \psi(a_i) = b_i \end{eqnarray*}$ ?

DIe beiden Vektorräume sind nur isomorph, wenn auch die den Vektorräumen zu Grunde liegenden skalaren Körper gleich sind.
Ja, das ist ein Isomorphismus. Kannst du das auch beweisen?

Zitat:

Original von kingskid
und wenn sie unterschiedliche dim haben, also $\begin{eqnarray*} (b_1,...,b_m) \end{eqnarray*}$ könnte ich dann so einen Homomorphismus angeben:

$\begin{eqnarray*} \psi(a_i) = \sum_{j=1}^m~a_{ji} b_j \end{eqnarray*}$ ? oder muss es $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ heißen ?

Was soll denn $\begin{eqnarray*} a_{ji} \end{eqnarray*}$ sein? Führe das mal bitte genauer aus. Ansonsten bleibt dir immer der triviale Homomorphismus übrig Augenzwinkern

Gruß, therisen

10.09.2006, 19:53

kingskid

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hi therisen!

ja, aber wenn ich keine triviale abbildung möchte, dann brauch ich basen, nicht?

hm, dann müsste ich zeigen, dass f(a_i) = b_i linear ist und injektiv & surjektiv??

ja die a_ji sollen die einträge aus der zugehörigen koordinaten matrix sein, so dass in der i.ten spalte die koordinaten des bildes bezüglich der basis aus W stehen. darf man das nicht so machen??

viele grüße

10.09.2006, 20:00

JochenX

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Wenn du irgendetwas richtig in einem Vektorraum machen willst, dann brauchst du Basen, da führt eigentlich gar kein Weg drum herum.

Lineare Abbildungen werden üblicherweise immer darüber angegeben, was sie mit den Basisvektoren machen (ein Spezialfall davon ist die Darstelungsmatrix, da geht sowieso nix ohne eine Basis).
Natürlich kannst du Trivialfälle mit "alles wird auf 0 abgebildet" sagen..... aber zum Rechnen wirst du damit seltenst glücklich werden.

Beachte insbesondere, dass schon hinter einer Darstellung als Spaltenvektor immer eine Basis steckt, zu der das angegeben wurde.

10.09.2006, 20:19

kingskid

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danke für deine erklärung...

und wie würdest du dann ganz allgemein eine lineare Abbildung von V nach W angeben?

10.09.2006, 20:23

JochenX

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kommt erst mal darauf an, wie V und W gegeben sind
für endlichdimensionale Vektorräume ist die Koordinatendarstellung (wegen mir zur Standardbasis) die häufigste.

Die Darstellung der Basisvektoren zu sich selbst ist eh immer die Standardbasis.
Gib also einfach an, worauf (1/0/.../0), (0/1/0.....0),...., (0/0/.../0/1) angebildet werden.

Bei dieser einfachen Basis tust du dich dann zum BERECHNEN der Abbildung auf andere Vektoren einfach, wenn du diese Bilder der dim(V) vielen Standardbasisvektoren geordnet als Spalten in eine Matrix (:=A) schreibst.

Einen Vektor x, der natürlich zu der gleichen Basis dargestellt ist, kannst du DANN einfach abbilden, indem du A*x berechnest.

Für unendliche Dimensionen wird das angeben so direkt sowieso schwieriger.
Aber nehmen wir den Raum aller Polynome und als lineare Abbildung die formale Ableitung - diese lin. Abbildung gibt man einfach an, indem man zu einem beliebigen Polynom (mit Parametern für Grad und Koeffizienten) das Bild angibt. Ein Speziallfall..... der sich natürlich auch anbieten kann.

10.09.2006, 20:31

kingskid

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hmm, okay, aber nochmal zum sicher gehen. so wie oben wäre es auch nicht falsch, oder?
also mit $\begin{eqnarray*} \psi(a_i) = \sum_{j=1}^m~a_{ji}b_j \end{eqnarray*}$

dann könnten die a_i ja auch die einheitsvektoren sein und das bild ist dann schon bezüglich der Basis in W dargestellt, oder versteh ich das grad ganz falsch...??

ja die dim soll schon endlich sein...

10.09.2006, 20:33

JochenX

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RE: lineare Abbildung

Zitat:

Original von therisen
Was soll denn $\begin{eqnarray*} a_{ji} \end{eqnarray*}$ sein?

diese Frage steht immer noch im Raum.

Wenn die a_i eine Basis von V bilden und die b_j eine Basis von w und diese a_ji irgendwelche Koeffizienten aus deinem Körper, DANN bekommst du hier für verschiedene Belegungen der Koeffizienten genau die linearen Abbildungen - genau.

Weil du die Bilder der Basisvektoren je beliebig (und unabhängig voneinander!) aus W wählen kannst.

(edit: wenns so gemeint ist - verwende wenn du schon mit a_i die Basisvektoren bezeichnet hast doch besser c_ij, da gibt es soooo viele Zeichen zur Wahl)

10.09.2006, 20:40

kingskid

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achsoo, okay. danke smile

ja sorry, das mit den aij ist schlecht bezeichnet, wir haben für vektoren immer altdeutsche buchstaben, das geht hier wohl nicht so gut.

dann noch eine letzte frage, muss es für die koeff. aus dem körper $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c_{ji} \end{eqnarray*}$ heißen in der summenformel ?

10.09.2006, 20:51

JochenX

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Zitat:

Original von kingskid
dann noch eine letzte frage, muss es für die koeff. aus dem körper $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c_{ji} \end{eqnarray*}$ heißen in der summenformel ?

das ist ja wohl völlig egal, das sind doch nur Namen

das i ist der Laufindex "von außen" (weil die Urbildbasisvektoren durchlaufen werden), das j der Laufindex der Summe.
Das ist wirklich gehupft wie gesprungen, welche Reihenfolge du da verwendest.

10.09.2006, 20:55

kingskid

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okay danke für deine hilfe!

dachte nur, damit die koordinaten vom i.ten bild auch in der i.ten spalte stehn, denn wenn ich das umdreh, ist es dann nicht j.te spalte?

aber wenn du das sagst solls mir recht sein =)

10.09.2006, 21:17

therisen

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Zitat:

Original von kingskid
ja sorry, das mit den aij ist schlecht bezeichnet, wir haben für vektoren immer altdeutsche buchstaben, das geht hier wohl nicht so gut.

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{\vec{a}}_{i} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}_{i} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von kingskid
dachte nur, damit die koordinaten vom i.ten bild auch in der i.ten spalte stehn, denn wenn ich das umdreh, ist es dann nicht j.te spalte?

Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstehe, aber es ist doch letztendlich egal, wie man seine Darstellungsmatrix definiert, das ist auch in den Lehrbüchern nicht kanonisch.

Gruß, therisen

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