kgV(m,n) * ggT(m,n) = m*n beweisen

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Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »
kgV(m,n) * ggT(m,n) = m*n beweisen
Folgendes Problem, ich muss beweisen, dass



ist. Kann mir jemand vielleicht erklären, wie man sowas beweist (mittels Zahlentheorie)?

Danke im Voraus.


mfg Rumpfi
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kgV(m,n) * ggT(m,n) = m*n beweisen
Um die beiden Faktoren zu bestimmen, braucht man ja die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen m und n. Mach das doch mal an einem Beispiel.

Was ergibt sich dann für KgV und ggT?
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »

das Porblem ist nicht, es anhand eines Beispiels zu lösen, sondern einen Mathematischen Beweis, ohne auch nur eine Zahl zu nennen.

Wenn ich für m und n eine Zahl einsetzen würde, wäre es zu einfach.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du es denn mal für ein Beispiel gemacht? Dabei sollte dir doch etwas auffallen. Das Stichwort Primfaktoren habe ich dir doch schon genannt.

Was sind denn KgV und ggT?
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »

ggT und kgV sind natürliche Zahlen

Wenn kgV(m, n) = k, dann bedeutet es, dass m | k und n | k.

Wenn ggT(m, n) = l, dann bedeutet es, dass l | m und l | n.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist da der Bezug zur Primfaktorzerlegung. Den brauchen wir.
 
 
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich kann dir nicht ganz folgen.

Meinst du vielleicht und ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und über diese Zerlegungen muss die ggt und KgV bestimmen. Mal am beispiel, dann allgemein.
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »





tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dieser Darstellung ist nichts gewonnen. Bitte in Primfaktoren. Augenzwinkern
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »



Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rumpfi
ggT und kgV sind natürliche Zahlen

Wenn kgV(m, n) = k, dann bedeutet es, dass m | k und n | k.

Wenn ggT(m, n) = l, dann bedeutet es, dass l | m und l | n.

Das ist übrigens nicht die richtige Definition. Diese Eigenschaften haben viele Zahlen, du solltest dir die Definitionen nochmal genau anschauen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke an MSS.

So, nun mach mal mit der Primfaktorzerlegung von kgV und ggT das Produkt m*n. Was fällt dann auf? Woran liegt das?
dieKroete Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
steh vor dem gleichen problem.







aber wie beweist man sowas für jedes m, n € N?

mbg
grauhaar Auf diesen Beitrag antworten »

Für das ggT wird immer das Minimum (der Exponenten) der auftretenden Primfaktoren verwendet, für das kgV das Maximum.
Nunja und das Minimum und das Maximum ergänzen sich nun eben auf alle auftretenden Primfaktoren beider Zahlen => ggT * kgV = m * n

Soweit so gut, aber wie kann ich das mathematisch allgemeingültig festhalten?
grauhaar Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs.
Da es anscheinend nicht gewünscht ist, hier Beweise einfach hinzuschreiben, geb ich lieber einen weiteren Denkanstoss:
Man verwende die Definition von kgV und ggT über die Primfaktorenzerlegung, schreibe das einmal nieder, und erkenne, dass Produkt aller min * Produkt aller max = Produkt aller min + max sei, und min + max seien alle Augenzwinkern

Legende:
min: Minimum der auftretenden Exponenten bei der Primfaktorenzerlegung
max: Maximum ....
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »

ich blick jetzt wirklich gar nicht mehr durch!das ggT(m, n) = max und kgV(m, n) = min ist, ist ja logisch.Ich bin leider kein Zahlentheoretiker, sondern eher jemand, der was anhand von beispielen theorien löst. Leider ist das Themaverfehlung bei dieser Aufgabenstellung.
dieKroete Auf diesen Beitrag antworten »

@grauhaar:
jaja schon klar, aber reicht das?
du setzt allerdings voraus, dass ggT(m,n)=max und kgV(m,n)=min indem du es mit einigen m und n versucht hast. aber wer sagt denn dass es für JEDES m, n € N gilt.

dazu brauchst du bestimmt die vollständige induktion noch oder?

würd mal gern deinen beweis sehen.

mbg
dieKroete
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Anstatt die Aufgabe zu lösen, solltet ihr, wie schon am Anfang hingewiesen, ggt und KgV mittels Primfaktorzerlegung darstellen. Das geht auch allgemein.

Dann ist die Aufgabe ein Ein/Zweizeiler.

Grauhaar hat den entscheidenden Tipp dann nun ja schon gegeben.
dieKroete Auf diesen Beitrag antworten »

dieses Problem anhand des ggT hab ich auch genau im Thread "Beweis Primfaktorzerlegung" darunter

wie beweist man das? sitze da schon stundenlange und komm auf keine idee.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hört ihr eigentlich eine Vorlesung dazu? Weil die Begriffe so schwammig sind...

Definition

Für die von 0 verschiedenen ganzen Zahlen a und b wird ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches als die kleinste nicht negative ganze Zahl definiert, die duch a und b teilbar ist. Falls a oder b gleich 0 ist, so wird kgV(a,b)=0 gesetzt.


Daraus folgt sofort der Satz (Existenz u. Eindeutigkeit der PFZ ist bekannt):






Dabei ist sind ggf auch Potenzen von 0 enthlaten (die Primfaktoren von a und b stimmen i.a. nicht überein)



ggT könnt ihr Euch nun mal überlegen.
dieKroete Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke.

ja leider ist die VO bei uns nicht gerade sonderlich hilfreich (bis jetzt zumindest) für die lösung der übungsbeispiele.
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »

Das hätte dann für mich folgende Definition:



Trotzdem wird mir das nicht bei meinem Problem weiterhelfen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum nicht....
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »

Lasst mich mal zusammenfassen, was wir bei diesem Topic alles gesammelt haben:

  • Die Definition für ggT und kgV nach der Primfaktorenzerlegung
  • Beispiele, die die Theorie beweisen


Trotzdem kann ich mit dem nichts anfangen. Ich brauch keinen rechnerischen Beweis, sondern einen mathematischen Beweis (klingt verwirrend, ist aber so).Ich bin mit der Sprache der Zahlentheoretiker noch nicht vertraut (außer m | n).
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Warum bildest du nicht einfach mal das PRodukt, nur nun in der Primfakotrdarstellung für allgemeines a und b.
grauhaar Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man das erste Mal Dinge selbstständig mathematisch allgemeingültig beweisen muss, wird man oft überrumpelt.

Aber zum eigentlichen Problem:
Wenn du das kgV und den ggT nun als Produkt der Primfaktorenzerlegung dastehen hast, dann multipliziert doch einfach einmal diese zwei Produkte.
Zu wissen ist, dass wenn du zwei Produktsummen miteinander multipliziert, dass du das ganze als eine Produktsumme schreiben kannst.
PI ( k) * PI (n) = PI (k + n)

Bin mit dem Formeleditor und Latex nicht so vertraut, ich hoff du erkennst dennoch was gemeint ist.
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir nicht sicher, ob diese Definition wirklich stimmt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

das letzte "=" fällt so ja nun was vom himmel. nutze doch was grauhaar gesagt hat...
grauhaar Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja du hast stehen:
kgV * ggT = PI ( min) * PI (max) (soll das sein, was du geschreiben hast)
= PI (min + max) = PI (aller Primfaktoren der Zerlegung) = a * b

Wenn du aus einer Summe von Potenzen einmal das Min und einmal das Max nimmst, und du beide addierst, erhälst du wieder die Summe der Potenzen.
z.B.: 2^3, 2^5, 3^5, 5^2 , 5^1 , 17^2

Min: 2^3 u 5^1 (da zB: 17 nur einmal vorkommt ist das Min 0)
Max: ....
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab noch nie während einer Zahlentheoretischen Beweisführung was gerechnet. Ich mach das erst seit 2 Wochen. Ich hab keine ahnung, wie so was ausgerechnet werden soll.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Aber in deiner SChulzeit doch wohl schon. Potenzgesetze.



Nun überleg mal, was auf der anderen Seite



in Primfaktorzerlegung ist.
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »

Man, bin ich dein Depp Hammer

Vielen Dank an alle, die wegen mir ein paar Nerven aufopfern mussten.






Den größten Dank von mir bekommt "tigerbine".
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