Funktionaldeterminante Koordinatentransformation |
| 07.03.2009, 21:33 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Funktionaldeterminante Koordinatentransformation ich studiere mittlerweile Maschinenbau im 2. Semester und habe in Analysis folgende Aufgabe vor mir liegen: "Berechnen Sie die Jacobideterminante für folgende Koordinatentransformationen: a) von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten b) von kartesisschen Koordinaten in Kugelkoordinaten c) von kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten" Mein Ansatz für a) (b analog) war, die Transformationsgleichungen r=root(x^2+y^2); phi=atan (x/y) und z=z zu nehmen, dann die Jacobi-Matrix aufzustellen und damit letztlich die Funktionaldeterminante auszurechnen. Dummerweise gibt das wegen der atan-Ableitung recht umständliche Terme und ich komme auf keinen grünen Zweig. Als ich dann meinen Assistenten um Hilfe fragte, meinte der, zu meinem Erstaunen, dass ich in die falsche Richtung transformiert hätte. Richtig wäre es, die Formeln x=r*sin phi; y=r*cos phi und z=z zu nehmen. Jetzt bin ich total verwirrt, denn diese Gleichungen transformieren bekanntlich von ZK-->KK, also entgegen der Aufgabenstellung. Wer kann mir weiterhelfen? Spielt die Transformationsrichtung für die Funktionaldeterminante überhaupt eine Rolle? Vielen Dank, und sorry, dass ich kein Latex genommen hab 
Oliver |
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| 08.03.2009, 11:14 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Funktionaldeterminante Koordinatentransformation
Natürlich! Im wesentlichen kriegst du bei der Umkehrtransformation den Kehrwert, nur eben mit den anderen Variablen ausgedrückt. Werfe mal einen Blick auf den Satz von der Umkehrabbildung. Grüße Abakus
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| 08.03.2009, 11:38 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi Abakus,
Gut, da die Transformationsrichtung offensichtlich nicht egal ist, frage ich mich weiterhin, welche Transformationsformeln ich z.B. für a) verwenden soll, jene für kk-->zk (meine Idee) oder die für zk-->kk (Assistent)?? Oliver |
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| 08.03.2009, 12:27 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit der Inversen der Jacobi-Matrix hast du Recht, ok.
Ich kann hier beide Möglichkeiten nachvollziehen: wenn du einen Term in Zylinderkoordinaten transformierst, setzt du ja für x, y, z etwas ein, das wäre die eine Version. Wenn du dagegen die Koordinate (x, y, z) in Zylinderkoordinaten haben möchtest, brauchst du die andere Richtung. Ausrechnen können solltest du jedenfalls beide Richtungen 
.Grüße Abakus
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| 08.03.2009, 12:43 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi,
Der Knackpunkt ist doch, dass der Weg mit den Formeln zk-->kk wesentlich leichter ist, als mit kk-->zk (hier komme ich nicht mehr weiter) Welche Formeln soll ich denn nun deiner Meinung nach nehmen, wenn ich die Aufgabe a), gemäß Aufgabenstellung, lösen möchte? Oliver |
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| 08.03.2009, 12:49 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde einfach beides angeben und durchrechnen (die "leichtere" Version ist hier diejenige, die beim Rechnen häufiger vorkommt). Ansonsten kannst du noch den Aufgabensteller fragen. Grüße Abakus
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| 08.03.2009, 13:21 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi,
Heißt das implizit, dass die Aufgabe deiner Meinung nach nicht eindeutig eingestellt ist? Ansonsten muss es doch eine eindeutige Lösung geben. Ich bin der Meinung sie ist eindeutig eingestellt, verstehe deshalb aber nicht, warum mein Assistent mir sagt, ich müsste genau entgegen der in Teilaufgabe a) genannten Richtung transformieren. Dort heißt es doch klar von kk-->zk. Warum nimmt man dann nicht auch diese Richtung bei den Transformationsformeln? Dieses Problem verfolgt mich durch die ganze Serie. Später kommen nämlich Gebietsintegrale vor, wo es nötig ist, mit ZK zu arbeiten, anstatt mit den gegebenen KK. Dort brauche ich also ebenfalls wieder die Funktionaldeterminante, um dF, nach dem integriert werden soll, zu transformieren. Oliver |
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| 08.03.2009, 13:47 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich halte beide Versionen hier für möglich (gerne noch andere Meinungen dazu erwünscht!). Vielleicht habt ihr dazu eine Sprechweise genau definiert, dann wäre es klar.
Mal ein Beispiel für die Sichtweise, die du nicht verstehst: zu berechnen: dann heißt es: "wir transformieren nun in (auf) Polarkoordinaten bzw. führen Polarkoordinaten ein" und es wird gesetzt: Wir erhalten dann: Hier wird also von kk -> pk transformiert. Es kommt also darauf an, was genau transformiert wird. Grüße Abakus
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| 08.03.2009, 15:17 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hey super abakus! Die Antwort trifft genau mein Kernproblem!
Kannst Du mir das "Was" noch ein bisschen genauer erklären? Immer handelt es sich doch um Koordinaten, so viel ist klar. Dein Integralbeispiel (-genau solche müssen wir auch bearbeiten) kann ich nachvollziehen, aber trotzdem widerstrebt mir die Sache. Denn wenn man, ohne diesen "Integral-Hintergrund" an die a) geht, also schön bei wikipedia unter Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten nachschaut, kommt man doch logischerweise auf den Schluss hier von kk-->zk zu transformieren!? Oder geht das irgendwie nur mir so? 
Oliver |
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| 08.03.2009, 18:06 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Korrekterweise müsste man seine Transformation erstmal genau hinschreiben, mit Definitionsbereich und Zuordnungsvorschrift. Dann erst kann die Funktionaldeterminante berechnet werden. Bei diesem Vorgehen wäre es eindeutig, worum es geht. Ob man jetzt noch zwischen Koordinatenumrechnung und -transformation unterscheiden muss, weiß ich nicht. Entscheidend ist, dass zu sehen ist, was gemacht worden ist und eine Berechnung verständlich ist. Grüße Abakus
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| 08.03.2009, 20:01 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey Abakus, Vielen Dank, dass Du Dich am Sonntag mit meinem Problem rumgeschlagen hast! Ich habe jetzt noch einmal nachgedacht und glaube mittlerweile, dass der Schlüssel wirklich in der Unterscheidung zwischen Umrechnung und Transformation liegt. Wie auch immer, bald habe ich sicher neue Fragen am Start
schönen Abend, Oliver |
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