Gleichungsproblem

08.03.2009, 01:21

markuswinderl

Gleichungsproblem

Hallo liebe Community,

ich habe eine Aufgabe aus dem Bereich Finanzmathematik die mir echt Kopf zerbrechen macht. Ich habe die Aufgabe zumindest schon mal in Formel gegossen und muss jetzt noch auflösen aber das stellen sich für mich doch einige Probleme dar und hoffe auf Support... Das Auflösen von Formeln habe ich einfach schon ewig nicht mehr gemacht.. Die Gleichung lautet aktuell wie folgt:

16351,73 = 500 * 1,00416667^n + 100 * (((1+0,00416667^n)-1)/0,00416667)

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.

Gruß
WM

08.03.2009, 01:46

Jacques

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Hallo,

Der Übersichtlichkeit halber sollte man die endlosen Dezimalbrüche ersetzen:

16351,73 = a

1,00416667 = b

Dann lautet die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} a = 500 \cdot b^n + 100 \cdot \frac{1 + b^n - 1}{b} \end{eqnarray*}$

Bei dem Zähler des Bruchs bleibt ja nur b^n übrig:

$\begin{eqnarray*} a = 500 \cdot b^n + 100 \cdot \frac{b^n}{b} \end{eqnarray*}$

Klammere b^n aus, dividere die Gleichung durch den Faktor vor b^n und logarithmiere dann die Gleichung zur Basis b (unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} b > 0, b \neq 1 \end{eqnarray*}$ )

08.03.2009, 14:00

markuswinderl

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sorry bin was Mathe angeht nicht gerade der Hellste...

Wo sind die 500 und die 100 hin und warum hast du im Bruch "1+b^n-1/b) stehen? Wo kommt das "1+" her?

Mir ist einfach der Rechenweg nicht klar was ich wie auflöse bzw. wo ich was rüberziehen muss um die Gleichung aufzulösen...

08.03.2009, 14:04

Jacques

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Zitat:

Original von markuswinderl

Wo sind die 500 und die 100 hin und warum hast du im Bruch "1+b^n-1/b) stehen? Wo kommt das "1+" her?

Das ist doch genau die Gleichung, die Du oben hingeschrieben hast. verwirrt

Ich habe

16351,73 = 500 * 1,00416667^n + 100 * (((1+0,00416667^n)-1)/0,00416667)

interpretiert als

$\begin{eqnarray*} 16351{,}73 = 500 \cdot 1{,}00416667^n + 100 \cdot \frac{(1+0{,}00416667^n)-1}{0{,}00416667} \end{eqnarray*}$

Wenn man 16351,73 durch a und 1,00416667 durch b ersetzt, erhält man die von mir aufgeschriebene Gleichung:

$\begin{eqnarray*} a = 500 \cdot b^n + 100 \cdot \frac{1 + b^n - 1}{b} \end{eqnarray*}$

500 und 100 sind doch da, und das 1 + kommt von Deiner Gleichung. Augenzwinkern

Zitat:

Original von markuswinderl

Mir ist einfach der Rechenweg nicht klar was ich wie auflöse bzw. wo ich was rüberziehen muss um die Gleichung aufzulösen...

Ich habe Dir in der obigen Antwort doch alles aufgeschrieben. Wenn Dir etwas daran unklar ist, stelle bitte konkrete Fragen (wie klammert man b^n aus? o. ä.)

08.03.2009, 20:32

markuswinderl

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$\begin{eqnarray*} a = 500 \cdot b^n + 100 \cdot \frac{b^n}{b} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Klammere b^n aus,

--> wie klammere ich b^n aus?

Zitat:

dividere die Gleichung durch den Faktor vor b^n

--> welcher Schritt ist das konkret? 16351/500?

Zitat:

und logarithmiere dann die Gleichung zur Basis b (unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} b > 0, b \neq 1 \end{eqnarray*}$ )

--> wie meinst du das?

Ich denke du würdest mir am besten helfen wenn du mir einfach die Lösung aufschreibst mit den einzelnen Schritten damit ich es nachvollziehen kann....Es ist weder für eine Prüfung oder ähnliches... Ich selber habe mit der ganzen Sache 0,0 Erfahrung da ich selbst mit der Thematik nie was zu tun habe...naja bis jetzt. Ich hatte das letzte mal Gleichungsaufgaben im Studium und das ist schon viel zu lange her als dass ich einfach das ausführen kann was man mir sagt.

08.03.2009, 21:49

Jacques

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Zitat:

Original von markuswinderl

--> wie klammere ich b^n aus?

Ausklammern bedeutet, dass man das Distributivgesetz „umgekehrt“ anwendet:

$\begin{eqnarray*} a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) \end{eqnarray*}$

D. h., wenn eine Summe aus mehreren Produkten besteht und dabei ein Term in jedem Produkt als Faktor auftritt, dann kann man diesen Term aus dem Produkt ziehen.

Und bei der rechten Seite Deiner Gleichung ist diese Voraussetzung erfüllt:

$\begin{eqnarray*} 500 \cdot b^n + 100 \cdot \frac{b^n}{b} = b^n \cdot 500 + b^n \cdot 100 \cdot \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

Man sieht: Der Faktor b^n tritt in jedem Produkt als Faktor auf, also kann er wie oben beschrieben ausgeklammert werden.

Zitat:

Original von markuswinderl

Zitat:

dividere die Gleichung durch den Faktor vor b^n

--> welcher Schritt ist das konkret? 16351/500?

Nein. Wenn man b^n ausgeklammert hat, sieht die Gleichung so aus:

$\begin{eqnarray*} a = b^n \cdot (\ldots) \end{eqnarray*}$

Wobei anstelle der Auslassungspünktchen eben der nach dem Ausklammern übrig gebliebene Term steht – darin kommt in jedem Fall noch b vor.

Durch diesen Ausdruck sollst Du die Gleichung teilen, damit b^n isoliert wird:

$\begin{eqnarray*} b^n = \frac{a}{\ldots} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von markuswinderl

Zitat:

und logarithmiere dann die Gleichung zur Basis b (unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} b > 0, b \neq 1 \end{eqnarray*}$ )

--> wie meinst du das?

Es gilt

$\begin{eqnarray*} a = b \ \Longleftrightarrow\ \log_c(a) = \log_c(b) \end{eqnarray*}$

Sofern $\begin{eqnarray*} a, b > 0, c > 0, c \neq 1 \end{eqnarray*}$

Das „Logarithmieren“ einer Gleichung bedeutet also, dass man von beiden Seiten den Logarithmus zu einer bestimmten Basis bildet. Weil als Basis nur eine positive reelle Zahl in Frage kommt, die außerdem nicht 1 sein darf, ist bei Deiner Gleichung dieser Schritt nur unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} b > 0, b \neq 1 \end{eqnarray*}$ .

Ob diese Voraussetzung erfüllt ist, weiß ich natürlich nicht, weil Du nicht gesagt hast, welche Werte die Variablen annehmen können.

Statt die Gleichung zu logarithmieren kannst Du auch direkt die Logarithmus-Definition anwenden:

$\begin{eqnarray*} x^n = y \ \Longleftrightarrow\ n = \log_x(y) \end{eqnarray*}$

(auch hier gelten wieder die o. g. Einschränkungen)

Sofern Du überhaupt kein Wissen über Logarithmen hast, müsstest Du Dich bei Wikipedia o. ä. informieren. Denn diese Vorkenntnisse brauchst Du für die Aufgabe einfach, es gibt keinen anderen Lösungsweg.

Zitat:

Original von markuswinderl

Ich denke du würdest mir am besten helfen wenn du mir einfach die Lösung aufschreibst mit den einzelnen Schritten damit ich es nachvollziehen kann....Es ist weder für eine Prüfung oder ähnliches... Ich selber habe mit der ganzen Sache 0,0 Erfahrung da ich selbst mit der Thematik nie was zu tun habe...naja bis jetzt. Ich hatte das letzte mal Gleichungsaufgaben im Studium und das ist schon viel zu lange her als dass ich einfach das ausführen kann was man mir sagt.

Das ist kein guter Vorschlag:

1. Es würde gegen die Forenregeln verstoßen, wenn ich Dir die Komplettlösung aufschreiben würde. Das Forum soll „Hilfe zur Selbsthilfe“ bieten und ist kein Dienstleister für Lösungen.

2. Anscheinend gibt es mehrere Aufgaben dieser Art zu lösen, denn Du fragst ja schon nach dem Rechenweg und nicht nur nach dem Ergebnis. Also muss Du im Endeffekt das Prinzip anwenden können. Und das lernt man erfahrungsgemäß dann am besten, wenn man eine prinzipielle Anleitung bekommt und dann die einzelnen Schritt selbst macht. Sicherlich könnte Dir jemand diese Aufgabe Schritt für Schritt vorrechnen, aber dann ist eben die Gefahr groß, dass Du bei der nächsten Aufgabe (andere Zahlen, evtl. andere Struktur) wieder vor genau demselben Problem stehst wie jetzt.

3. Es ist schlichtweg keine faire Arbeitsteilung, wenn Du keinen einzigen Schritt machst und Dir dann am Ende die Komplettlösung hier abholst. Du kannst zumindest die grundlegenden Umformungen übernehmen, und sobald Fragen aufkommen, fragst Du eben hier nach.

Also Du bekommst alle möglichen Hilfestellungen, aber Du musst schon mitarbeiten. ;-)

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