Asymptote berechnen

08.03.2009, 12:17

robrunner

Asymptote berechnen

Hallo, ich bin in der 11. Klasse und schreibe am Dienstag Schulaufgabe über Kurvendiskussionen.

Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe die Asymptote zu berechen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{x^{4}}{4} +x^{3} \end{eqnarray*}$

Ich hab das so umgeformt:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-x^{4}+4*x^{3}}{4} \end{eqnarray*}$

und mit $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ gekürzt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-1+\frac{4}{x} }{\frac{4}{x} } \end{eqnarray*}$

Mach ich jetzt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x) \end{eqnarray*}$

krieg ich: $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{0} \Rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

Unser Lehrer hat uns gesagt, dass man so ein Asymptote ausrechnet, aber was heißt das jetzt - wie schaut die Asymptote/der Graph dann aus? (Schnittstellen mit x-Achse, horizontale Tangenten, Wendepunkte habe ich schon)

08.03.2009, 12:26

Q-fLaDeN

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Hallo,

Wenn du durch x^4 kürzt, dann sieht das Ergebnis dann aber so aus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-1+\frac{4}{x} }{\frac{4}{x^4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~\frac{-1+\frac{4}{x} }{\frac{4}{x^4}} = -\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}~\frac{-1+\frac{4}{x} }{\frac{4}{x^4}} = -\infty \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
Keine waagrechte Asymptote.

Nicht jeder Graph hat eine waagrechte Asymptote. Nur dann, wenn der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ existiert, hat der Graph eine waagrechte Asymptote.

08.03.2009, 12:31

robrunner

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Zitat:

Wenn du durch x^4 kürzt, dann sieht das Ergebnis dann aber so aus:

Schreibfehler traurig

Ich verstehe nicht, wie ich darauf komme, wie steil der Graph gegen $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ läuft.

08.03.2009, 12:33

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von robrunner
Ich verstehe nicht, wie ich darauf komme, wie steil der Graph gegen $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ läuft.

Was meinst du damit? Und was hat das mit der Asymptotenbestimmung zu tun?

08.03.2009, 12:36

Jacques

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@ robrunner: Bist Du eigentlich sicher, dass die Funktion so lautet? Denn m. E. hat diese Funktion überhaupt keine Asymptote -- weder waagrecht, noch schief, noch gekrümmt*.

// edit: *zumindest wenn man sich auf Polynomfunktionen beschränkt

08.03.2009, 12:40

robrunner

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Zitat:

Was meinst du damit? Und was hat das mit der Asymptotenbestimmung zu tun?

Hat sich erledigt, sorry.

Zitat:

Bist Du eigentlich sicher, dass die Funktion so lautet? Denn m. E. hat diese Funktion überhaupt keine Asymptote -- weder waagrecht, noch schief, noch gekrümmt.

Dank euch weiß ich das jetzt.

08.03.2009, 12:47

Jacques

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Allgemein lautet die Definition:

Der Graph einer (linearen) Funktion g heißt genau dann Asymptote einer Funktion f für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ , wenn

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) - g(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Entsprechend muss bei $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} f(x) - g(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Waagrechte Asymptoten ermittelt man einfach durch die Grenzwertbildung

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty} f(x) \end{eqnarray*}$

Als senkrechte Asymptoten werden Polstellen bezeichnet. Von einer schiefen Asymptote spricht man, wenn die Steigung der Asymptote nicht 0 ist.

Bei rationalen Funktionen ermittelt man die schiefen Asymptoten entweder durch Grenzwertbildung (Nennergrad höher als Zählergrad) oder Polynomdivision. Ob es auch bei anderen Funktionen allgemeine Verfahren gibt, weiß ich nicht.

08.03.2009, 15:40

Herbert Müller

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Zitat:

Original von Jacques
@ robrunner: Bist Du eigentlich sicher, dass die Funktion so lautet? Denn m. E. hat diese Funktion überhaupt keine Asymptote -- weder waagrecht, noch schief, noch gekrümmt*.

// edit: *zumindest wenn man sich auf Polynomfunktionen beschränkt

Was ist eine Asymptote, bzw. was versteht Dein Lehrer daunter?
Laut wikipedia:

Zitat:

..
eine Kurve von einer bestimmten Form, die sich einer vorgegebenen Kurve in einem Grenzprozeß "beliebig annähert“.

Mit anderen Worten ein x^4 dominiert latürnich mehr wie ein x^3.

hth Herbert

08.03.2009, 16:12

Jacques

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@ Herbert Müller:

Ist das ein Einwand? Hast Du doch eine Asymptote gefunden? verwirrt

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