integral von ln |x| und e^x²

08.03.2009, 14:29

Cor

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integral von ln |x| und e^x²

hi bringe mir gerade integralrechnung für die anstehende prüfung am 19. märz bei aber irgendwie komm ich da nicht weiter unglücklich

unglücklich

und zwar komme ich bei $\begin{eqnarray*} (\int_{}^{} x²*ln|x| dx \end{eqnarray*}$ nicht weiter. wenn ich $\begin{eqnarray*} U'=x² ; v=ln|x| \end{eqnarray*}$ nehme komm ich nachher auf ein ergebnis mit 0=0 weil ich auf der linken seite das integral hab und auf der rechten seite auch wieder das integral unglücklich

unglücklich

so weit ja nicht falsch hilft mir nur nicht weiter. wie muss ich da vorgehen?

und bei $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}x*ex² \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} 0,5 ex²(1-1/x) \end{eqnarray*}$ laut ergebnis soll aber nur $\begin{eqnarray*} 0,5ex² \end{eqnarray*}$ rauskommen unglücklich

unglücklich

wo liegt hier mein fehler?
oh ich seh gerade wenn ich $\begin{eqnarray*} U'=ex² \end{eqnarray*}$ integriere kann ich da doch nicht einfach $\begin{eqnarray*} 1/2x ex² \end{eqnarray*}$ draus machen unglücklich

unglücklich

aber wie integriere ich dann U' ?

danke schonmal für eure hilfe

edit: es soll natürlich e^(x²) heissen sorry

08.03.2009, 14:38

Gugi

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RE: integral von ln |x| und e^x²
Wende die Partielle Integration an!

Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} \frac{x^{3}}{3}\cdot (ln(x)-\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$

08.03.2009, 14:41

derkoch

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RE: integral von ln |x| und e^x²

Zitat:

Original von Cor
hi bringe mir gerade integralrechnung für die anstehende prüfung am 19. märz bei aber irgendwie komm ich da nicht weiter unglücklich

unglücklich

und zwar komme ich bei $\begin{eqnarray*} (\int_{}^{} x²*ln|x| dx \end{eqnarray*}$ ...

unglücklich

unglücklich

so weit ja nicht falsch hilft mir nur nicht weiter. wie muss ich da vorgehen?

Kann ich nicht sagen , wo dein Fehler ist, da ich deine Rechnung nicht sehe!

Zitat:

Original von Cor
und bei $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}x*ex² \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} 0,5 ex²(1-1/x) \end{eqnarray*}$ laut ergebnis soll aber nur $\begin{eqnarray*} 0,5ex² \end{eqnarray*}$ rauskommen unglücklich

unglücklich

wo liegt hier mein fehler?
oh ich seh gerade wenn ich $\begin{eqnarray*} U'=ex² \end{eqnarray*}$ integriere kann ich da doch nicht einfach $\begin{eqnarray*} 1/2x ex² \end{eqnarray*}$ draus machen unglücklich

unglücklich

aber wie integriere ich dann U' ?

danke schonmal für eure hilfe

edit: es soll natürlich e^(x²) heissen sorry

Substitution: $\begin{eqnarray*} u= x^2 \end{eqnarray*}$

sollte passen

08.03.2009, 14:46

jester.

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Außerdem kannst und solltest du für das Auffinden der Stammfunktion statt von $\begin{eqnarray*} \ln(|x|) \end{eqnarray*}$ lieber von $\begin{eqnarray*} \ln(x) \end{eqnarray*}$ ausgehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.03.2009, 14:50

Cor

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ja wenn ich den betrag weg lasse beim ln kann ich später im integral ja kürzen dann komm ich auch eine richige lösung nur ich kann doch nicht einfach den betrag weg lassen!? oO und wenn doch warum? oder ist es vllt weil ln nicht für negative x definiert ist? -.-

08.03.2009, 14:53

jester.

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Der Betrag erweitert hier lediglich den Definitionsbereich des Logarithmus auf negative Zahlen.

Rote Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(x)+1 \end{eqnarray*}$
Gründe Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln~|x| \end{eqnarray*}$

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08.03.2009, 14:55

Cor

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aso heisst ich kann also den betrag vernachlässigen und im ergebnis einfach wieder hinschreiben lieg ich da richtig?

hm und wegen der substitution... hat jemand vllt iwo eine seite oder ein script wo sie verständlich erklärt ist? ich tu mich damit nämlich total schwer unglücklich

unglücklich

wüsste zb nichtmal was ich mit dem x bei dem integral machen soll wenn ich u=x² setze :/

08.03.2009, 14:59

jester.

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Da wir hier im Hochschulbereich sind würde ich sagen, dass Beträge nicht einfach verschwinden und wieder auftauchen.

Du kannst den Betrag (begründet!) vernachlässigen und die Definitionsmengen des Integranden und der Stammfunktion entsprechend eingeschränkt angeben.

08.03.2009, 15:08

Cor

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okay^^ sorry mit begründungen sowas machen fällt mir immer bissl schwer bin im 1. semester und vorher mussten wir sowas nie machen. wäre die begründung "da der betrag bei dem ln nur den definitionsbereich auf die negativen x werte erweitert, kann man ihn vernachlässigen indem man x einschränkt mit x>0" ok?

08.03.2009, 15:16

jester.

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Ja, so seh ich das. Gleiches gilt dann auch für die Stammfunktion.

Man kann natürlich nach dem Integrieren den Betrag wieder in die Stammfunktion einbringen. Das dann natürlich auch mit der entsprechenden ("umgekehrten") Begründung.

So, jetzt mal zu dem zweiten Integral. Du kennst die Substitutionsregel also nicht... Versuch dich doch mal an dem zugehörigen Wikipedia-Artikel, vielleicht hiflt der dir ja weiter.

Was studierst du denn, wenn ich fragen darf?

08.03.2009, 15:26

Cor

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ja den wiki artikel les ich gerade =)
ich studier informationstechnik im 1. semester^^ also sehr viel mathe im grunde auch nit schwer aber auf integrale komm ich net klar. die anderen fächer wie physik grundlagen der programmierung und digitalundrechnertechnik sind auch alle kein problem nur in mathe machen die ordentlich dampf und legen immer wert drauf das alles korrekt is und ich bin immer eher so einer ach das sieht man das die funktion gegen 0 geht fertig^^ vllt nicht die beste lösung unglücklich

unglücklich

aber ich komm gut mit klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

in der prüfung am 19. kommt vor: grenzwerte und deren beweise, taylorreihe, maximalwertaufgaben, kurvendiskussion, integrale vektorrechnung (aber nur das nötigste wie ebene aufspannen und iwo mit schneiden lassen usw), matrizenrechnung, und komplexe zahlen

hab ich halt alles drauf bis auf komplexe zahlen und integrale^^ aber bis zum 19. is das machbar denke ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.03.2009, 15:32

jester.

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Aha, Informationstechnik also.

Na ja, ich denke auch, dass du das bis zum 19. schaffen solltest. Für Fragen gibt es ja auch das Matheboard. Freude

Freude

08.03.2009, 15:36

Cor

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eben =) is ja nich so das ich total blöd bin^^ nur konnte ich in den 3 wochen wo wir integrale hatten nicht in der fh sein.. und unser mathe prof hat nur son tolles lückenscript wo man alles in der vorlesung eintragen muss und da ich das nich hab hilft mir sein lückentext nich viel weiter xD aber es gibt ja wikipedia und des board ^^
aber danke für deine hilfestellung =)

08.03.2009, 16:09

Cor

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aber nochmal zu dem integral $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}x*ex² dx \end{eqnarray*}$
wenn ich nun die substitution anwende mit u=x² habe ich $\begin{eqnarray*} du/dx=2x \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}x*e^u du/2x \end{eqnarray*}$ danach kann ich ja kürzen und bekomme dann $\begin{eqnarray*} 0,5 \int_{}^{}e^u \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} 0,5*e^u \end{eqnarray*}$ schnell eingesetzt und ich erhalte $\begin{eqnarray*} 0,5*ex² \end{eqnarray*}$ . richtig? wenn ja warum ersetze ich x² durch u und lasse das x erstmal unberührt und "hoffe" drauf das es sich rauskürzt.
und wenn sich das x nich rauskürzen würde (zb bei x³*e^(x²)) hab ich dann falsch substituiert oder rechne ich einfach weiter mit x als konstante?

ich versuch mal die aufgabe mit x² und x³ als faktor vor dem e^(x²) und guck was ich raus bekomm^^ vllt wird dann ja was klar xD

btw warum stellt latex e^x richtig da e^x² aber nicht? gibts da für die e funktion ein extra tag? benutz latex nicht allzu oft sorry^^

08.03.2009, 16:21

jester.

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Zum Latex: Du solltest Exponenten in geschweifte Klammern schreiben, also z.B. e^{x^{2}}

Zur Mathematik: Solche gemischten Integrale mit x und u sind nicht schön. Wenn du eine Substitution wählst, wie z.B. $\begin{eqnarray*} u=x^{2} \end{eqnarray*}$ , dann musst du diese nach x umformen und auch alle x ersetzen.

Dann ergibt sich hier $\begin{eqnarray*} \int x \cdot e^{x^{2}}~\dd x=\int \sqrt{u} \cdot e^{u} \frac{\dd u}{2 \sqrt{u}}=... \end{eqnarray*}$

Die Tatsache, dass sich etwas herauskürzt, liegt in der Natur der Sache, da das Substitutionsverfahren quasi die Umkehrung der Kettenregel ist.

Und ein Integral wie $\begin{eqnarray*} \int x^{3}e^{x^{2}}~ \dd x \end{eqnarray*}$ wäre dann eher etwas für partielle Integration.

08.03.2009, 16:36

Cor

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hm also definitiv immer alle x ersetzen. gut werd ich mir merken^^

$\begin{eqnarray*} \int x^{3}e^{x^{2}}~ \dd x \end{eqnarray*}$ wenn das partielle integration is hab ich doch wieder das problem das ich nicht weiss wie ich $\begin{eqnarray*} e^{x^{2}} \end{eqnarray*}$ integrieren soll. wenn ich für $\begin{eqnarray*} \int x^{3}e^{x^{2}}~ \dd x \end{eqnarray*}$ die substitution anwende bekomm ich bei mir $\begin{eqnarray*} (e^{x^{2}}*(x²-1))/2 \end{eqnarray*}$ raus laut mathdraw.de stimmt das auch aber ich ersetz da wieder nur das x² und lasse x³ stehen kürze dann x³/2x und habe dann u/2 und kann dann den faktor 0,5 wieder rausziehen. das ist wahrscheinlich wieder totaler blödsinn oder?

08.03.2009, 16:48

jester.

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Nein, das scheint mir alles richtig zu sein.

Also erst mal muss ich sagen, dass das nicht ganz richtig war, was ich gesagt habe, da man in der Tat $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x^{2}} \end{eqnarray*}$ nicht elementar integrieren kann.

Die Partielle Integration eigent sich also nur bedingt: Wenn man $\begin{eqnarray*} \int xe^{x^{2}}~\dd x \end{eqnarray*}$ schon gelöst hat, kann man $\begin{eqnarray*} \int x^{3}e^{x^{2}}~\dd x=\int x^{2} \cdot xe^{x^{2}}~\dd x \end{eqnarray*}$ partiell integrieren.

Die Substitution kann hier auch zum Ziel führen und zwar so, wie du es beschrieben hast, das habe ich ebenfalls nicht bedacht. Man muss allerdings die x nicht stehen lassen, auch nach der vollständig durchgeführten Substitution lässt sich etwas kürzen:

$\begin{eqnarray*} \int x^{3}e^{x^{2}}~\dd x=\int \sqrt{u} \cdot u \cdot e^{u} \frac{\dd u}{2 \sqrt{u}}=\frac{1}{2} \int ue^{u} \dd u \end{eqnarray*}$

08.03.2009, 17:35

Cor

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ja das leuchtet ein =) dann passt partielle integration auch =) hät ich mir aber auch denken können^^

naja gut außer das ich das x erst noch stehen hatte war es ja dann richtig =) gut ich denke so langsam komm ich dahinter =) ich werde nun noch ein paar aufgaben rechnen und für heute schluss machen aber vielen dank für deine geduldige hilfe =)

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