Drehachse einer Matrix berechnen

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California Auf diesen Beitrag antworten »
Drehachse einer Matrix berechnen
Hi Leute,

ich soll von der Matrix hier:

Die Determinante ist -1 also handelt es sich um eine Drehspiegelung...aber wie berechne ich hier nun die Drehachse...habe zwar diese Formel hier

(A+I3)x = 0 habe aber keine Ahnung wie ich diese anwende...
California Auf diesen Beitrag antworten »

Hm eine Vermutung von mir wäre von der Matrix die Einheitsmatrix abzuziehen und dann die 3te Spalte als Seknrechte zur Spiegelebene zu definieren...Bei mir hier also käme mit der Lösung hin...klappt aber nur bei der Aufgabe; bei ner anderen nicht ;-(
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lauten denn die Eigenvektoren?
California Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenwerte sind:

1 (doppelt) dazu die Eigenvektoren: (1 0 1)^T und (0 1 0) ^T; zum andern Eigenwert -1 lautet der Eigenvektor: (1 0 -1)^T


was nun?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was passiert mit dem Eigenraum von (1) unter der MAtrix?
California Auf diesen Beitrag antworten »

hm verstehe leider nicht was du meinst und Mittwoch ist Klausur ;-( Kannst du mir in einfachen Worten erklären wie man dies nun berechnet?Bin grade total am verzweifeln...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »





Das gilt auch für alle Vielfachen dieses Vektors (Eigenraum zu (-1). Das ist eine Gerade im IR³. Für eine Spiegelung brauchen wir nun noch einen Punkt, oder eine Ebene.





Nun, die Eigenvektoren sind hier orthogonal. Somit auch die Eigenräume. Also steht die Gerade senkrecht auf der Ebene. Geometrisch sollte nun klar sein, wie hier gespiegelt wurde.

http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale...he_Entsprechung

http://de.wikipedia.org/wiki/Ebenenspieg...benenspiegelung

Das wollte ich damit sagen. Soweit klar?

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So, warum ist die Abbildung nun eine Drehspiegelung. Wir schauen uns die Matrix nochmal an.



Das ist eine Spieglungsmatrix. Die Ebene erhälst du wie oben. Du kannst nun nat. noch die Einheitsmatrix als Drehung ran multiplizieren. Imho ist der Drehwinkel 0°.

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Mal ein anderes Beispiel.
Zitat:

Zeigen Sie durch Abbildung der Basisvektoren i, j, k das die Matrix:



eine Drehspiegelung beschreibt. Geben Sie Drehachse, Drehwinkel und Lage der Spiegelebene an.




Kannst du hier die Drehachse angeben. Also aus der zweiten Matrix? Kannst du dir bildlich vorstellen, was die Matrix macht? "Punkte" auf der Drehachse sind ja fix.
California Auf diesen Beitrag antworten »

Liebe Tigerbine; ich möchte mich ersteinmal herzlich bei dir bedanken; dass du dich meiner annimmst Augenzwinkern

Also ich habe es jetzt so verstanden, das die Drehachse einer Matrix nichts anderes ist, als der Eigenvektor die Richtung vorgibt, in die gedreht wird. Wobei es prinzipiell egal ist, welchen Eigenvektor man hierfür betrachtet, da alle zum selben Ergebnis führen...ist das so korrekt?


Lg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Bei dem zweiten Beipsiel. Welcher Vektor wir denn NICHT gedreht?
California Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zweite??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

In Vektorform, vielleicht? Denn der zweite WAS.
California Auf diesen Beitrag antworten »



der??man bin grad total verwirrt...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Oder der. Augenzwinkern

California Auf diesen Beitrag antworten »

hm ok, der wird also nicht gedreht...weil cos von -1 180 ° sind...o man ich glaub ich raff das nicht ;-(

Also:wie ist denn auch überhaupt deine Staffelung von sinus und cosinus in deinem Beispiel gewählt?Also wann nimmt man sinus; wann cosinus?Oder ist es immer so wie in deinem Beispiel??Finds echt dreist von meinem Prof uns Null Infos darüber gegeben zu haben, es aber in der Themenliste der Klausur steht...


Hm also bei deinem Beispiel ist die det=-1 (also Drehspiegelung); Drehachse ist Vektor(010)^T und der Drehwinkel lautet 30 ° ?
California Auf diesen Beitrag antworten »

der Winkel lautet 15°glaub ich habs gerafft
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den beiden Beispielen erkannt man die STruktur der Drehmatix. Man sucht "Ecken eines Quadrat" mit Sinus und Cosinus-Werten.

http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsma..._Raumes_R.C2.B3

Also: 30°

Wenn man so eine Struktur nicht findet, bist du im nächsten Unterpunkt. Am besten rechnest du das mal Rückwärsts, also gib dir die Achse und Winkel vor und berechne dann die Matrix. Dann wieder zurück.

Ich würde aber meinen, dass einer der ersten Fälle drankommen wird. Also nochmal die Sin/Cos Werte der Klassiker anschauen.
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