Einheitswurzeln berechnen

08.03.2009, 16:47

Fabibras

Einheitswurzeln berechnen

Hallo,

Ich habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (z- \frac{i}{2})^{4}=- \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Und davon soll ich nun die Einheitswurzeln berechnen.

Ich habe $\begin{eqnarray*} (z- \frac{i}{2}) \end{eqnarray*}$ durch x ersetzt

Es sieht jetzt also so aus:

$\begin{eqnarray*} x^{4}=- \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Die Polarkoordinatendarstellung sieht meiner meinung nach dann so aus:

$\begin{eqnarray*} x^{4}= \sqrt[4]{- \frac{1}{4}} \cdot e^\frac {i \pi+ 2 \pi k}{4} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} i^{2} \cdot i^{2}=1 \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac {i}{2}} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich das ganze in die Formel für die Einheitswurzeln umgewandelt:

LaTex F., sh. Korrektur

Jetzt rechne ich x für k=0,1,2,3 aus und setze $\begin{eqnarray*} x=(z-\frac{i}{2}) \end{eqnarray*}$

Dann bekomme ich zwar die Ergebnisse aus der Lösung ( (1/2)+i; -(1/2)+i; -(1/2); (1/2) ) nur in einer anderen Reihenfolge, z.B. für k=0 aus der Lösung bekomme ich das gleiche Ergebnis für k=3

Deswegen taucht bei mir die Frage auf, ob ich das so richtig gerechnet habe oder ob die Lösungen in falscher Reihenfolge
ein schlichter, den Zahlen geschuldeter, Zufall war.

Ich hoffe, ihr könnt mir da ein wenig weiterhelfen.

08.03.2009, 17:09

Fabibras

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RE: Einheitswurzeln berechnen
Ich habe die Einheitswurzel nochmal korrigiert:

Dann hab ich das ganze in die Formel für die Einheitswurzeln umgewandelt:
$\begin{eqnarray*} x_{k}= \sqrt {\frac {i}{2}} \left( \cos(\frac { \pi+ 2 \pi k}{n})+ \sin(\frac { \pi+ 2 \pi k}{n} ) \right) \end{eqnarray*}$

08.03.2009, 18:06

mYthos

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RE: Einheitswurzeln berechnen

Zitat:

Original von Fabibras
...
Die Polarkoordinatendarstellung sieht meiner meinung nach dann so aus:

$\begin{eqnarray*} x^{4}= \sqrt[4]{- \frac{1}{4}} \cdot e^\frac {i \pi+ 2 \pi k}{4} \end{eqnarray*}$
...

Diese Polarkoordinatendarstellung von $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist dreifach falsch, denn erstens muss der Betrag immer reell sein und zweitens stehen beim Winkel nur die Vielfachen von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ , solange noch nicht durch 4 dividiert ist und drittens muss i in der Hochzahl als Faktor vor dem Winkel stehen! Ausserdem hat auf der linken Seite keine 4. Potenz mehr zu stehen, wenn rechts bereits die 4. Wurzel gebildet wurde. Unter diesen Umständen ist es mehr als purer Zufall, ja sogar rätselhaft, dass du überhaupt ein der Lösung entsprechendes Resultat erhalten hast. Vielmehr ist

$\begin{eqnarray*} x^{4}= \frac{1}{4} \cdot e^{i (\pi+ 2 \pi k)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_k = \sqrt[4]{\frac{1}{4}} \cdot e^\frac{i (\pi+ 2 \pi k)}{4} \end{eqnarray*}$

und weiter

$\begin{eqnarray*} x_k = \frac{1}{\sqrt2} \cdot e^{\frac{i \pi}{4}(1+2k)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

In deinen Einheitswurzeln taucht überdies auch plötzlich n auf, das sollte aber wohl 4 sein.

mY+

08.03.2009, 18:32

Fabibras

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Ja, ich hatte da mit dem Latex ein wenig zu kämpfen. Aber jetzt hab ichs. Vielen Dank für die flotte Hilfe.

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