Tangenten/Normalen an Funktionsgraphen(Ableitung) |
| 08.03.2009, 21:27 | sunny290505 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Tangenten/Normalen an Funktionsgraphen(Ableitung) Ich schrebe am Donnerstag Mathe Klausur und leider sind mir so ein paar Sachen unklar. Besonders wenn es was mit Tangenten, Graphen und Normalen zu tun hat... Jetzt habe ich aber erstmal eine Aufgabe mit Schnittwinkeln(genauso schlimm 
)Hier die Aufgabe: Zeichnen Sie die Graphen von f und g in dasselbe Koordinatensystem. Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte beider Graphen. Berechnen Sie dann den Schnittwinkel der Tangenten in diesen Punkten auf 0.01° genau. f(x)=x² ; g(x)= 2-x² Ich habe die Graphen gezeichnet und habe als Schnittwinkel S1(1/1) und S2(-1/1) raus. Aber wie komme ich jetzt auf die Schnittwinkel ? Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Vielen dank im Voraus! |
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| 08.03.2009, 22:31 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Schnittwinkel zweier Kurven ist definiert als der Schnittwinkel der zwei Tangenten im Schnittpunkt. Du musst also zuerst einmal die Tangenten aufstellen. Anschließend bringst du die Tangenten in Vektorform und multiplizierst sie miteinander. Das Ergebnis ist dann nämlich der cosinus des gesuchten winkels. Jetzt musst du nur noch arcos anwenden. lg |
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| 08.03.2009, 22:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beides ist, so wie's da steht, leider Unsinn! Wie kann man Tangenten miteinander multiplizieren? Das "Produkt" (welches du offensichtlich im Sinne hast) ist auch dann nur unter ganz bestimmten Voraussetzungen gleich einem Cosinus ... mY+ |
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| 08.03.2009, 23:02 | Geero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also... du musst die differenzfunktion von f(x) und g(x) berechnen (f(x)-g(x)) dann bildest du die ableitung setzt die x-werte der schnittpunkte in die ableitung ein, nimmst von dem ergebnis den arctan und fertig |
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| 08.03.2009, 23:30 | Geero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ne sorry ist falsch. du berechnest die steigung beider graphen im schnittpunkt also m1=f'(1) und m2=g'(1) dann setzt du deine werte in diese formel ein dann machst du das gleiche für den anderen schnittpunkt und fertig |
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| 08.03.2009, 23:42 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt auch nicht. Erst denken und nachprüfen, dann schreiben. Allen jenen, die nur mit Halbwissen aufwarten können, ist ganz dringend ans Herz zu legen, ihre Statements zuerst gründlich zu überprüfen, bevor sie sie auf die Allgemeinheit loslassen. mY+ EDIT: Ok, ich sehe, du hast das berichtigt. |
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| 09.03.2009, 10:10 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja da hast du schon recht. Konkret geht es um das Skalarprodukt zweier Vektoren für welches gilt wobei alpha der eingschlossene Winkel ist. lg |
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| 09.03.2009, 12:24 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt. Genau genommen sind es die normierten Richtungsvektoren der beiden Geraden, deren Skalarprodukt gleich dem Cosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkel ist. mY+ |
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| 09.03.2009, 17:15 | sunny290505 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Omg. Jetzt versteh ich ja gar nix mehr! Wo liegt denn überhaupt der gesuchte Schnittwinkel? Muss ich jetzt die Steigung der beiden Graphen berechnen? Wenn ja, wie mach ich das nochmal? Ich hab überhaupt keine Ahnung wie ich da rangehen soll... |
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| 09.03.2009, 18:44 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die Steigung der beiden Funktionen im Schnittpunkt, wie schon beschrieben. D.h. du berechnest die 1. Ableitung der beiden Funktionen und setzt dort den x-Wert des Schnittpunktes ein. Diese beiden Steigungen kannst du in die von Geero gezeigte Formel einsetzen und erhältst so den Tangens des gesuchten Winkels. Im TR auf INV TAN drücken liefert den Winkel. mY+ Bemerkung: Alternativ dazu kann von jeder einzelnen Steigung der zugehörige Winkel (ebenfalls mit INV TAN) berechnet werden. Diese beiden Winkel sind dann voneinander zu subtrahieren. |
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| 09.03.2009, 19:04 | sunny290505 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Also ich hab jetzt versucht die Funktionen abzuleiten. Ich glaub aber, dass das falsch ist. Ich hab m1=2 und m2=4. Stimmt das? Wenn ich die Werte in die Formel von geero einsetze, kommt da was sehr seltsames raus... |
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| 09.03.2009, 19:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
m2 stimmt nicht. Wie hast du gerechnet (welche Ableitungen hast du und welchen x-Wert hast du eingesetzt?) mY+ |
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| 09.03.2009, 19:27 | sunny290505 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir hatten ja die funktion g(x)=2-x^2 g'(x)= 2-2x Und dann hab ich den x wErt eingesetzt, also -1. |
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| 09.03.2009, 19:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ableitung ist falsch. Die Ableitung von 2 ist NICHT 2. mY+ |
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| 09.03.2009, 19:46 | sunny290505 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso von 2? Oder ist das das mit der Summenregel. Aber dann müsste die 2 ja weg fallen, weil es kein x gibt und dann würde nur noch -x^2 übrigbleiben. Das abgeleitet wär dann -2x. Dann den x Wert einsetzen. Also würde 2 rauskommen aber das stimmt ja auch nicht... |
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| 09.03.2009, 20:14 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die Ableitung von 2 ist Null, weil 2 ein konstanter Summand ist. Was passiert nun, wenn du in -2x für x = 1 einsetzt ?????? Es gibt ja zwei Schnittpunkte, einer ist (1; 1). mY+ |
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| 09.03.2009, 20:18 | sunny290505 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich dachte ich muss für x -1 einsetzen, weil wir ja zwei Schnittpunkte hatten, also der eine gilt für f(x) und der andere für g(x). Ja wenn ich 1 einsetze kommt -2 raus. Und jetzt? Das in die formel eingesetzt gibt ja dann 0. |
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| 09.03.2009, 20:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weshalb der Durcheinander? Bleibe doch mal bei einem Schnittpunkt! Also zunächst bei (1; 1), dabei ist x = 1. Wie lauten nun die beiden Steigungen dort? Setze diese dann in die Formel ein. mY+ |
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| 09.03.2009, 20:38 | sunny290505 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also die Steigungen lauten m1=2 und m2=-2(?) Dann in die Formel eingesetzt: [2+(-2)] / (1+ 2*-2) = tan von alpha Ich bekomm da immer 0 raus... Ich muss doch dann tan^ -1 nehmen um alpha rauszubekommen, oder? |
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| 09.03.2009, 20:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast falsch in die Formel eingesetzt. Dort steht im Zähler m1-m2 mY+ |
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| 09.03.2009, 20:52 | sunny290505 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh stimmt. 
Also haben wir: tan von alpha= -(4/3) Für alpha kommt dann -53.13° raus. Ist das schlimm wenn da ein minus vor der Zahl steht? |
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| 09.03.2009, 21:10 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist nicht schlimm, nimm statt dessen den Winkel 180° - 53,13°, es ist der Nebenwinkel. Der Tangens hat auch eine Periodenlänge von 180°, deswegen kann man Vielfache von 180° addieren. mY+ |
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| 09.03.2009, 21:12 | sunny290505 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Und was muss ich jetzt noch machen? Oder das Gleiche nochmal nur mit dem anderen x-wert? |
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| 09.03.2009, 21:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja! Aber, hast du dir die Grafik angesehen? Was fällt dir auf? mY+ |
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| 09.03.2009, 21:23 | sunny290505 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Winkel ist genauso groß wie der andere, oder? Ist die Aufgabe dann fertig? |
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| 09.03.2009, 21:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das gilt infolge der Symmetrie. Wenn nur der Schnittwinkel zu berechnen war, dann war's das. mY+ |
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| 09.03.2009, 21:36 | sunny290505 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja nur den Schnittwinkel. Super, vielen Dank für die Hilfe!! 
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