Gleichungssystem

08.03.2009, 22:14

Eschek

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Gleichungssystem

Bestimmen Sie alle Lösungen des Gleichungssystems in Abhängigkeit von a element R und begründen Sie, für welche a keine, für welche a genau eine und für welche a eine mehrparametrige Lösungsschar existiert.

(I) x + a²y - 3y + 4a³z - 4a²z - 8az = a +1
(II) 3x + 6a²y - 12ay - 18y + 18a³z - 18a²z - 36az = 3a + 3
(III) 2x + 2a²y - 4ay - 6y + 9a³z - 9a²z - 18az = a² + 5a + 4

08.03.2009, 22:33

Reksilat

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RE: Gleichungssystem
Na dann mach doch mal!

Prinzip - Mathe online verstehen!

09.03.2009, 08:10

Eschek

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hab ich ich komm auf (2z²+1)²

09.03.2009, 10:50

Reksilat

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Das kann nicht sein, denn hier handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem in x, y und z. Die zugehörige Matrix ist für manche a regulär und für andere eben nicht. Nun kann man zum Beispiel das LGS mit Gauß auf Dreiecksgestalt bringen und kann dann ablesen, für welche festen (und nicht von x, y, z abhängigen) Werte von a das Gleichungsystem eindeutig lösbar ist.

Gruß,
Reksilat

09.03.2009, 18:47

Eschek

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Wie kann ich den das GLS in Gauß bekommen, da steht ja a³ etc. könnteste mir den erten Schritt vllt. mal zeigen?

Lg

09.03.2009, 22:07

Reksilat

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Stör Dich doch nicht an $\begin{eqnarray*} a^3 \end{eqnarray*}$ . Das ist eigentlich überhaupt kein Problem:

$\begin{eqnarray*} x + (a^2-3)y + (4a³ - 4a² - 8a)z = a +1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x + (6a² - 12a - 18)y + (18a³ - 18a² - 36a)z = 3a + 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x + (2a² - 4a - 6)y + (9a³ - 9a² - 18a)z = a² + 5a + 4 \end{eqnarray*}$

Ob da als Koeffizient $\begin{eqnarray*} 5, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 4a³ - 4a² - 8a \end{eqnarray*}$ steht ist erstmal vollkommen egal.

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10.03.2009, 10:32

Eschek

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ok, hab jetzt die dreiecksform gebildet.
Diese ist bei mir:

x + (a² - 2a -3)y + (4a³-4a²-8a)z = a+1 (I)

0 + (3a²-6a-9)y + (3a³-3a²-6a)z = -3a² -9a - 6 (II)

0 + o + (a³ - a²-2a)z = a² + 3a + 2 (III)

Kurz die Schritte:

II - 3 III

III - 2 I

II + 3 I

muss jetzt noch mein y in der 2 Gleichung und mein z in der 3 Gleichung durch die gesamte Klammer dividieren damit ich 1 stehn habe?

10.03.2009, 10:43

Reksilat

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Deine Umformungsschritte sind für mich zwar nicht nachvollziehbar, aber gut, es geht ja um die prinzipielle Vorgehensweise. Lösen musst Du das System jetzt nicht, es ist nur die Frage, wann das System eine Lösung hat, das heißt wann lässt sich das System durch Rückwärtssubstitution eindeutig lösen?

Letzte Zeile:
(a³ - a²-2a)z = a² + 3a + 2
Für welche Werte von a lässt sich diese Zeile nach z auflösen?

10.03.2009, 10:58

Eschek

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durch Z = (a²+3a+2)/(a³-a²-2a) ?

10.03.2009, 11:29

Reksilat

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Frage lesen!
Nicht wie, sondern für welche Werte von a?

10.03.2009, 11:50

Eschek

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Ja, wie soll ich den das rechnen,
durch ausprobieren oder wie?

_______________________________

Ich weiß nur das a aufjedenfall ungleich null sein muss...

_______________________________

Wäre es möglich das es für a eine Lösung gibt für alles R ungleich 2,-1,-2 ?

Edit (mY+): 3 Post's zusammengefügt.

10.03.2009, 21:07

Eschek

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Kann das Jemand bestätigen?

Nämlich wenn ich in die matrix für a = 2 einsetze bekomme ich keine Lösung und wenn ich a= -1 einstetze bekomme ich eine mehrparametrige Lösungsschar nur für a = -2 bin ich mir unsicher :-(

Ahja für a = 0 bekomme ich auch eine mehrparametrige Lösungsschar raus, danke im vorraus Lehrer

Lehrer

10.03.2009, 23:03

Eschek

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Könnte mir jemand mal biiiiiiitte helfen *gg*

_______________________________________

Ich probiers jetzt nochmal vollständig und Überschaubar hinzuschreiben, und könnte jemand, vllt. auch von den admins mal drüber schaun und kurz nachvollziehn ob das stimmt:

Folgende Matrix ist gegeben unglücklich

unglücklich

Soll eine Matrix sein R^3x3)

( 1 a²-2a-3 4a³-4a²-8a / a+1 )
( 3 6a²-12a-18 18a³-18a²-36a / 3a+3 )
( 2 2a²-4a-6 9a³-9a²-18a / a²+5a+4 )

Durch Gauß

II - 3 I und III - 2I

--->

( 1 a²-2a-3 4a³-4a²-8a / a+1 )
( 0 3a²-6a-9 2a³-2a²-12a / 0 )
( 0 0 a³-a²-2a / a²+3a+2 )

somit hab ich die Gleichung (a³-a²-2a)*z= a²+3a+2

nach abc-Formel bekomm ich für a= 0,2,-1,-2

Also hat das LGS für alle R eine Lösung außer a= 0,2,-1,-2.

a=2

(1,-3,0,1;0,-9,-16,0;0,0,0,12) --> nicht Lösbar

a=0

(1,-3,0,1;0,-9,0,0;0,0,0,2) --> nicht lösbar

a=-1

(1,0,8,0;0,-12,8,0;0,0,0,0) --> mehrparametrige Lösungsschar

a=-2

(1,5,-24,-1;0,13,-12,0;0,0,-8,0) ---> ?

Wäre lieb wenn mal jemand antworten könnte der Kompetent ist.

11.03.2009, 09:43

mYthos

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@Eschek

6-fach Post!!!! Nütze die EDIT-Funktion!!!!!

mY+

11.03.2009, 10:21

Mathespezialschüler

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Könntest du bitte etwas geduldiger sein?! Es ist nicht immer jemand da, um dir zu helfen, vor allem nicht abends um zwölf Uhr. Außerdem ist das hier freiwillige und kostenlose Hilfe, da wirkt Gedränge mMn sehr unschön.

Zitat:

Original von Eschek
(I) x + a²y - 3y + 4a³z - 4a²z - 8az = a +1

Hm vielleicht könntest du dich mal entscheiden, welches Gleichungssystem du meinst. Hier hat $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ den Faktor $\begin{eqnarray*} a^2-3 \end{eqnarray*}$ und im nächsten Zitat $\begin{eqnarray*} a^2-2a-3 \end{eqnarray*}$ . Ich gehe mal von letzterem aus, da du auch damit weiter gerechnet hast.

Zitat:

Original von Eschek
x + (a² - 2a -3)y + (4a³-4a²-8a)z = a+1 (I)

0 + (3a²-6a-9)y + (3a³-3a²-6a)z = -3a² -9a - 6 (II)

0 + o + (a³ - a²-2a)z = a² + 3a + 2 (III)

[...]

muss jetzt noch mein y in der 2 Gleichung und mein z in der 3 Gleichung durch die gesamte Klammer dividieren damit ich 1 stehn habe?

1. Die Rechnung stimmt.
2. Genau dann ist ein quadratisches Gleichungssystem lösbar, wenn man es in Dreiecksform mit Einsen auf der Diagonalen bekommen kann.
3. Wenn du durch die Klammern teilst, dann kommst du auf genau eine solche Dreiecksform. Du darfst allerdings nicht einfach so durch die Klammern teilen, sondern nur dann, wenn die Klammern nicht Null sind. Das bedeutet:

Wenn $\begin{eqnarray*} a^3-a^2-2a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3a^2-6a-9\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, dann gibt es genau eine Lösung. Du musst also erstmal die Gleichungen $\begin{eqnarray*} a^3-a^2-2a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3a^2-6a-9=0 \end{eqnarray*}$ lösen. Und da brauchst du auch gar nicht so pampig fragen, wie du das denn machen sollst und ob durch Ausprobieren, denn die erste Gleichung kann man auch schreiben als $\begin{eqnarray*} a(a^2-a-2)=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a^2-a-2=0 \end{eqnarray*}$ . Und dann hast du nur noch quadratische Gleichungen und die kannst du ja sicher rechnerisch lösen. Für die Nullstellen, die sich dann ergeben, muss man das Gleichungssystem dann noch genauer untersuchen nach keiner oder unendlich vielen Lösungen.

Zitat:

Original von Eschek
Ich probiers jetzt nochmal vollständig und Überschaubar hinzuschreiben, und könnte jemand, vllt. auch von den admins mal drüber schaun und kurz nachvollziehn ob das stimmt:

Warum denn von den Admins? Es gibt hier genug andere kompetente Helfer und etwas Geduld wäre, wie gesagt, auch schön.

Zitat:

Original von Eschek
Folgende Matrix ist gegeben unglücklich

unglücklich

Soll eine Matrix sein R^3x3)

( 1 a²-2a-3 4a³-4a²-8a / a+1 )
( 3 6a²-12a-18 18a³-18a²-36a / 3a+3 )
( 2 2a²-4a-6 9a³-9a²-18a / a²+5a+4 )

Durch Gauß

II - 3 I und III - 2I

--->

( 1 a²-2a-3 4a³-4a²-8a / a+1 )
( 0 3a²-6a-9 2a³-2a²-12a / 0 )
( 0 0 a³-a²-2a / a²+3a+2 )

Dass es nichts bringt, wenn du Leerzeichen einfügst, solltest du mittlerweile auch mitbekommen haben. Diese werden einfach ignoriert. Es liest sich wirklich nicht schön, was du hier immer hinschreibst. Du bist doch jetzt schon etwas länger hier im Forum. Möchtest du dich nicht einmal erbarmen und Latex lernen?

Die Umformungsschritte sind korrekt und auch etwas einfacher als die anderen, wie du sicher selbst gemerkt hast.

Zitat:

Original von Eschek
somit hab ich die Gleichung (a³-a²-2a)*z= a²+3a+2

nach abc-Formel bekomm ich für a= 0,2,-1,-2

Du meinst, du hast die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^3-a^2-2a=0 \end{eqnarray*}$ gelöst? Dann hast du irgendwas falsch gemacht, eine Gleichung dritten Grades kann nicht vier Lösungen haben. Die Lösung $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ ist falsch, die anderen sind korrekt.

Zitat:

Original von Eschek
Also hat das LGS für alle R eine Lösung außer a= 0,2,-1,-2.

Das ist falsch. Dass $\begin{eqnarray*} a=-2 \end{eqnarray*}$ hier nicht reingehört, hab ich ja schon gesagt, aber auch für $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ gibt es Lösungen. Du könntest nur sagen, dass für alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R\setminus\{-1,0,2\} \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung existiert, aber das stimmt nicht. Du hast bis jetzt nur überprüft, ob du die letzte Gleichung auflösen kannst, aber damit hast du noch keine Dreiecksform. In der vorletzten Gleichung muss man auch noch etwas tun. Man sieht nämlich:

Wenn $\begin{eqnarray*} a^3-a^2-2a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3a^2-6a-9\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, dann gibt es genau eine Lösung. Alle anderen Fälle muss man gesondert behandeln.

Zitat:

Original von Eschek
a=2

(1,-3,0,1;0,-9,-16,0;0,0,0,12) --> nicht Lösbar

Die vierte Ziffer sollte eine $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ sein, denn es ist $\begin{eqnarray*} a+1=2+1=3 \end{eqnarray*}$ . Sonst ist alles korrekt, auch dass es keine Lösung gibt.

Zitat:

Original von Eschek
a=0

(1,-3,0,1;0,-9,0,0;0,0,0,2) --> nicht lösbar

Korrekt.

Zitat:

Original von Eschek
a=-1

(1,0,8,0;0,-12,8,0;0,0,0,0) --> mehrparametrige Lösungsschar

Die erste Acht sollte eine Null sein, ebenso wie die $\begin{eqnarray*} -12 \end{eqnarray*}$ . Ansonsten stimmt es.

Zitat:

Original von Eschek
a=-2

(1,5,-24,-1;0,13,-12,0;0,0,-8,0) ---> ?

Wie gesagt, ist $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ keine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} a^3-a^2-2a=0 \end{eqnarray*}$ , das sieht man ja auch, du hast diesmal korrekt $\begin{eqnarray*} (-2)^3-(-2)^2-2(-2)=8 \end{eqnarray*}$ ausgerechnet. Allerdings sind die anderen Zahlen irgendwie falsch. Es müsste

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & -32 & -1 \\ 0 & 15 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -8 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lauten. In diesem Fall hat man aber offensichtlich eine Dreiecksform, also hat das GLS genau eine Lösung, nämlich $\begin{eqnarray*} (x,y,z)=(-1,0,0) \end{eqnarray*}$ .

Damit wären wir fast fertig, du musst, wie gesagt, noch die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} 3a^2-6a-9=0 \end{eqnarray*}$ als Spezialfälle betrachten, ebenso wie du es gerade mit $\begin{eqnarray*} a^3-a^2-2a=0 \end{eqnarray*}$ getan hast. Und dann kannst du nochmal ein endgültiges Ergebnis formulieren, wann es nun wie viele Lösungen gibt.

11.03.2009, 11:03

Eschek

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Ok, entschuldigung ich nehme alles zurück was ich in der Hitze des Gefechts geschrieben habe.

also wenn ich die Gleichung (a³-a²-2a)*z= a²+3a+2 habe,
dann betrachte ich nur (a³-a²-2a)? Warum betrachte ich nicht noch a²+3a+2?

für 3a² - 6a - 9 = 0
--> a= 3 und -1

a=-1

(1,0,8,0;0,-12,8,0;0,0,0,0) --> mehrparametrige Lösungsschar (haben wir schon gerechnet)

a=3

(1,0,0,4;0,0,0,0;0,0,10,20) --> mehrparametrige Lösungsschar

Gibt es noch eine schnellere Möglichkeit die Aufgabe zurechnen? Denn in der Klausur habe ich nur 90min für 8Aufgabe und die eine nimmt ja schon mega viel Zeit in anspruch?

Hab das mal mit Determinanten bildung probiert. Aber das war noch komplizierter und das Fehlerpotenzial war da noch höher :-(

11.03.2009, 15:10

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Eschek
also wenn ich die Gleichung (a³-a²-2a)*z= a²+3a+2 habe,
dann betrachte ich nur (a³-a²-2a)? Warum betrachte ich nicht noch a²+3a+2?

Wenn $\begin{eqnarray*} a^3-a^2-2a\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann gibt es eine eindeutig bestimmte Lösung für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Höchstens wenn $\begin{eqnarray*} a^3-a^2-2a=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann musst du noch $\begin{eqnarray*} a^2+3a+2 \end{eqnarray*}$ mit betrachten. Denn wenn dann $\begin{eqnarray*} a^2+3a+2\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann gibt es keine Lösung, sonst ist $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ beliebig. Aber das Mitbetrachten hast du dadurch erledigt, dass du in den Spezialfällen einfach geguckt hast, was mit dem ganzen Gleichungssystem passiert. Dabei betrachtest du natürlich insbesondere die letzte Gleichung.

Zitat:

Original von Eschek
a=-1

(1,0,8,0;0,-12,8,0;0,0,0,0) --> mehrparametrige Lösungsschar (haben wir schon gerechnet)

Wie rechnest du diese Zahlen aus? Ich komme, wie gesagt, darauf, dass die erste Acht und die $\begin{eqnarray*} -12 \end{eqnarray*}$ eine Null sein müssten.

Zitat:

Original von Eschek
a=3

(1,0,0,4;0,0,0,0;0,0,10,20) --> mehrparametrige Lösungsschar

Anscheinend machst du sehr viele Rechenfehler oder du setzt woanders ein als ich. Jedenfalls sollte da eigentlich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 48 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 12 & 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

rauskommen.

Zitat:

Original von Eschek
Gibt es noch eine schnellere Möglichkeit die Aufgabe zurechnen? Denn in der Klausur habe ich nur 90min für 8Aufgabe und die eine nimmt ja schon mega viel Zeit in anspruch?

Nein, ich denke nicht. Die Lösung ist aber auch schon schnell. Der Thread ist nur etwas länger geworden, eigentlich sind es aber nur wenige Schritte:

1. Gauß anwenden (sogar nur zwei Einzelschritte!).
2. Die Gleichungen $\begin{eqnarray*} a^3-a^2-2a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3a^2-6a-9 \end{eqnarray*}$ lösen.
3. Für die fünf Lösungen diesen Wert in die Dreiecksform einsetzen und ablesen, wie viele Lösungen existieren.

Das sollte in höchstens zehn Minuten zu schaffen sein.

11.03.2009, 23:55

Eschek

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dank dir

Gott

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