Lagrange-Restgliedabschätzung

Neue Frage »

Tim Taylor Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange-Restgliedabschätzung
Hi,
ich beschäftige mich seit kurzem mit Taylorpolynomen und Lagrangeabschätzungen. Das Aufstellen der Taylorpolynome klappt ganz gut, aber die Restgliedabschätzung verstehe ich nich nicht so ganz.

Die Formeln lauten ja:





Im Anhang habe ich zwei Fragen:
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Restgliedabschätzung
Beides stimmt. Du lieferst einen Zwischenschritt. Dann kommt http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsamml...inkelfunktionen

bei lila wird eben für das Intervall so abgeschätzt, damit man die Vorgabe erhält. Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem Additionstheorem für den Cosinus gilt für alle reellen Zahlen die Gleichung

,

also ist .

Weiterhin ist und wegen der Voraussetzung ist . Das wurde in der Abschätzung genutzt.
Tim Taylor Auf diesen Beitrag antworten »

Aber heißt es bei Wikipedia nicht cos²(x)-sin²(x) oder welche von den Beziehungen wurde genaz genau angewendet? <.<
Tim Taylor Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hab MSS antwort nicht rechtzeitig gesehen!


Danke!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Selbst ohne den Post von MSS, hättest du selbst einsehen können, dass gilt:



Und in dem Restglid taucht dann ja auch ein Minus auf. Augenzwinkern
 
 
Jono Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte zu diesem Thema auch noch eine Frage:

Dieses c, welches man im Lagrange-Ansatz zur Fehlerabschätzung benutzt, soll ja ein Wert sein, aber welcher Wert soll es denn nun im Endeffekt sein?

1.
Meine Überlegung war, dass man das c so wählt, dass der Fehler größtmöglich ist um sicher zu sein, dass der tatsächliche Fehler, auf jeden Fall innerhalb der Fehlerabschätzung liegt.

2.
Meine andere Überlegung war, dass man die Fehlerabschätzung sowohl für x_0, als auch für x errechnet und dann der tatsächliche Fehler zwischen diesen beiden Fehlerabschätzungen liegen muss

Ist eine der beiden Überlegungen richtig?
wenn ja welche?
wenn nein, was ist denn richtig?

Ich würde mich sehr über einen kleinen Tip freuen, vielen Dank, Gruß, Jono
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das "c" im Restglied, üblicher ist ist eine Stelle aus dem Intervall, für die die Formel exakt ist. I.a. kennt man diese Stelle nicht, sondern weiß nur, dass es sie gibt.
Jono Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort!

somit wäre doch auch die Folgerung richtig, dass der Fehler R_n(x), zwischen den beiden eingesetzen Werten liegen MUSS. Man könnte also schreiben



sorry, wenn das eine banale Frage ist, aber bisher konnte mir das noch keiner beantworten

Gruß
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, muss er nicht. Wer sagt denn, dass der Fehler seine Extremwerte (Min, Max) an den Rändern des Intervalls annimmt?

Du musst dir die Funktion anschauen (also die n+1-Ableitung) und den Faktor. Wo wird diese auf dem Intervall extrem? (Betrag betrachten).Sei das bei .

Dann liegt der Fehler zwischen 0 und




Fern, was soll x sein? WEil du von "einsetzen" gesprochen hast.
Jono Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich verstehe, was du meinst, vielen Dank

Ich bleibe wohl beser bei der herkömmlichen Notation und schreibe am Ender der Rechnung einfach ...für ein

Damit bin ich hoffentlich auf der sicheren Seite

Gruß
Jono Auf diesen Beitrag antworten »

x sollte der Funktionsparameter sein

also, wenn man beispielsweise ln(2) mit dem entwicklungspunkt x_0=1 per Taylorpolynom berechnen wollte

Dann wäre das "x" = 2

Also das wollte ich zumindest damit sagen ;-)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast genau falsch geraten. Die erste Überlegung war die Richtige, nicht die zweite, da die -te Ableitung ja nicht monoton sein muss bzw., wie tigerbine schon sagte, ihre Extremwerte nicht an den Rändern des Intervalls annehmen muss. Bei der ersten hingegen gibst du natürlich wirklich eine obere Schranke an.
Jono Auf diesen Beitrag antworten »

es ist eine knifflige Sache, dieses Lagrange'sche Restglied

Ich habe eine neue Idee :-)

man müsste formulieren, dass der Fehler zwischen dem maximalen und dem minimalen FUNKTIONSwert des Restgliedes, welche auf dem genannten Intervall erreichbar sind, liegen muss

Gruß
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss gar nichts formulieren. Augenzwinkern

Es gibt mind. ein x (rate mal welches) für die ist das Restglied 0. Augenzwinkern

Für dieses und alle anderen x aus dem Intervall gibt es ein festes , so dass man das Restglied wie folgt angeben kann:



Das ist theoretisch schön, hilft praktisch nicht weiter. Also betrachtet man das Restglied als Funktion in x.



Und sucht auf dem Intervall nach dem Maximum. Damit kann man dann den Fehler abschätzen.
Jono Auf diesen Beitrag antworten »

ok, prima

Das war ja meine erste Hypothese ;-)

Vielen dank, liebe Tigerbiene und lieber Mathespezialschüler
Ihr hab sehr weitergeholfen
vlt. kann ich euch ja irgendwann auch mal was erklären ;-)
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »