exponentielles Wachstum

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09.03.2009, 14:32	Weltreisender	Auf diesen Beitrag antworten »
exponentielles Wachstum Hallo, ich habe ein Problem bei der sich im Anhang befindenden Aufgabe. Augabenteil A)und B) sie noch einleuchtend. Nur Bei C) und D) bekomme ich irgendwie keinen Antatz hin. Vielen Dank für eure Hilfe. Ein Weltreisender auf der Suche [attach]10009[/attach]
09.03.2009, 17:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du kannst ja mal kurz schreiben, was dir so bei a) und b) eingefallen ist bzw. was sich bei dir ergeben hat. Die nachfolgenden, nicht ganz einfachen Überlegungen erfordern unbedingt eine vorhergehende graphische Umsetzung. [attach]10015[/attach] c) Die Produktionsfunktion ist linear. Wie könnte sie lauten? Die Produktionsfunktion schneidet die Verkaufsfunktion zwei Mal, d.h. es wird eine Zeitspanne geben, innerhalb der die Produktion hinter den Verkaufszahlen her hinkt, mit anderen Worten, die Produktionsmenge kleiner sein wird, als die möglichen zum Verkauf gelangenden Geräte. Daher wird die Firma mit der Produktion früher beginnen, sodass die höchste zu erwartende Verkaufszahl gerade noch kompensiert werden kann. Die Produktionsfunktion wird deswegen so verschoben, dass deren Graph die Verkaufsfunktion nicht mehr schneidet, sondern berührt; (Hinweis: Die Produktion muss früher begonnen werden). d) Wenn bei Verkaufsbeginn bereits 10000 Geräte vorhanden (produziert) sein sollen, kannst du leicht berechnen, um wieviele Wochen früher mit der Produktion zu beginnen ist. Somit kann auch diese (neue) Produktionsfunktion angegeben werden. Die Verkaufsfunktion nähert sich nun einem bestimmten Sättigungswert, d.h. mehr als diese begrenzte Anzahl von Geräten wird nicht verkauft werden können. Davon wird nun der Erwartungswert von 10000 noch zu verkaufender Geräte subtrahiert. Die zu der solcherart verminderten Menge erforderliche Verkaufszeit entnehmen wir der Verkaufsfunktion v(t) und setzen sie in die neue Produktionsfunktion ein. Damit erhalten wir eine Stückzahl, welche über den Sättungswert der Verkaufsfunktion hinausgeht. Dies liefert die Anzahl der nicht verkauften Geräte. mY+
09.03.2009, 18:54	Weltreisender	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungen zu a),b) Okay also Lösungen: a) 1) Skizze s.attechemant 2) Max (10/3679), d.h.: Die Markteinführung 10 Wochen von dem Max, also Ende September. 3)wöchentliche Verkaufszahlen langfristig: lim t->unendlich(1000t1:e^(0.1t)= 0. waagrechte AS: y=0, also auf der x-Achse. 4) Gründe: beschriebener Verlauf: - "Bekanntheitsgrad" Werbung (verzögertes Extrema) -> Abnahme: Bei der Einführung neues Gerät. 5) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{52}~f(t)~dx = 96589 \end{eqnarray*}$ ->Stückzahl innerhalb eines Jahres b) Ableitung von V(t)=V'(t)
09.03.2009, 19:17	Weltreisender	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung für c) c) Schnittpunkte V(t) und P(t)=2500t berechnen-> Integral t1=8,7 bis t2= $\begin{eqnarray} \int_{8.78}^{34.23}~V(t)-P(t)~dx = 157477 \end{eqnarray}$ Also 157477:2500=63 Wochen früher muss die Produktion beginnen ?? wäre meine erster spontaner lösungsweg doch pustekuchen!! wie kann ich die Funktion, welche die Produktion angibt so verschieben??
09.03.2009, 19:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, bei a) b) ist alles soweit ok, das Integral liefert genauer 96580 Stück, es bringt übrigens das gleiche Resultat wie $\begin{eqnarray} v(52) \end{eqnarray}$ . Wie weit bist du nun bei c) d) gekommen? Auf Grund meines vorigen Beitrages solltest du eigentlich ohne weitere Schwierigkeiten zu den gewünschten Resultaten kommen. In der Grafik kann man diese ablesen, allerdings die Rechnung ist natürlich noch (von dir) zu erledigen. Du wirst nicht umhin können, einige Gleichungen durch Näherungsverfahren oder numerisch mittels CAS zu lösen. ------------- Das Extremum, die Extrema mY+
09.03.2009, 19:39	Weltreisender	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung zu d) 1)lim t->unendlich (V(t))=10000 100'000-10'000=90'000 y=90000-> t=38.9 ->39+4 Wochen Vorproduktion also Prokuktionsspop nach 43 Wochen. 2) ??? Noch mal vielen Dank für deine Hilfe!!!
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09.03.2009, 19:57	Weltreisender	Auf diesen Beitrag antworten »
AW zu c) Okay c) ist klar S1=8.78 S2=34.23 t-Werte Addieren und :2 Differnz der Beiden Kurven im t-wert 22.501 d.h.: 9536,1 P2(2)=2500x+9536.1 Sy= -3.8
09.03.2009, 19:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, aus 38,9 musst du nun die Produktionsmenge der veränderten Produktionsfunktion (bei t = 38,9) berechnen. Die usprüngliche Produktionsfunktion muss so verändert werden, dass zu Beginn des Verkaufs bereits 10000 Geräte produziert sind. Der wöchentliche Ausstoß bleibt aber dabei gleich. Wie wird die neue Funktion nun lauten (blaue Produktionsgerade)? Wie sieht es bei c) aus? 63 Wochen sind natürlich unrealistisch, das kann nicht stimmen. Wenn du den Graphen genau ansiehst, müsstest du eigentlich draufkommen (welche Eigenschaft hat die rote Produktionsgerade hinsichtlich der blauen Verkaufsfunktion v(t)?). mY+
09.03.2009, 20:08	Weltreisender	Auf diesen Beitrag antworten »
AW d) Okay jetzt ist es klar also y=10000+2500t neue Produktionsfunktion, somit nur noch Wert 38,9 einsetzten. P(38,9/107250) d.h. 7250 Geräte Überschuss!!! Also nochmals vielen Dank für die Mühe. Es hat mir wirklich sehr geholfen!!!!
09.03.2009, 21:14	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun fehlt uns nur noch der Abschluss bei c) EDIT: Ich sehe, du hast dies um 19:57 h ohnehin behandelt, das hatte ich übersehen. Den Mittelwert der beiden t-Werte der Schnittpunkte bilden ist jedoch nicht zulässig, weil das keine exakte Methode ist. Du hättest vielmehr die Tangente an v(t) parallel zu der Produktionsfunktion p(t) legen müssen. mY+
11.03.2009, 17:18	Weltreisender	Auf diesen Beitrag antworten »
okay wie kann ich denn den Punkt ermitteln, welcher sich auf der Funktion v(t) liegt und parallel zu p(t) ist??
12.03.2009, 00:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist relativ einfach: Im gesuchte Punkt ist die Steigung von v(t) gleich 2500, also ist die Gleichung $\begin{eqnarray} v'(t) = f(t) = 2500 \end{eqnarray}$ aufzulösen $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t = 21,533 \end{eqnarray}$ welches eben nur fast gleich dem Mittelwert der t-Werte der beiden Schnittpunkte ist (21,506) mY+
12.03.2009, 10:52	Weltreisender	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay damit wär die Aufgabe gelöst. Nochmals vielen Dank für die ausführliche Hilfe, Es hat mir wirklich sehr geholfen. Ein nun zum Teil erleuchteter Weltreisender

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