Gleichheit von Funktionen (allgemein)

10.09.2006, 17:52

gessi

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Gleichheit von Funktionen (allgemein)

Hallo,

ich bin mal wieder auf eine nicht ganz eindeutige Stelle im Skript gestoßen...

Wir haben aufgeschrieben: Zwei Funktionen f,g sind gleich, wenn
1) $\begin{eqnarray*} D_f=D_g=D \end{eqnarray*}$ (gleicher Def.bereich)
2) $\begin{eqnarray*} \forall x \in D: f(x) = g(x) \end{eqnarray*}$ (gleiche Zuordnungsvorschrift)
3) gleicher Wertebereich

Dann hatten wir eine Funktion
$\begin{eqnarray*} q: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$
und eine Funktion
$\begin{eqnarray*} q*: \mathbb R \to [0, \infty) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

1 und 2 sind klar. Aber 3? In meinem Skript steht "nach Def. ja, $\begin{eqnarray*} [0, \infty) \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ", allerdings habe ich dahinter geschrieben "aber nicht sicher", was wohl heißt, dass es eine Bemerkung gab, wonach das doch nicht unbedingt stimmt. Außerdem habe ich noch die Anmerkung, dass q nicht surjektiv ist, q* aber schon.

Sind die Funktionen jetzt gleich oder nicht?

10.09.2006, 17:59

Serpen

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RE: Gleichheit von Funktionen (allgemein)
hmmm die Wertemenge bei q kommt mir ziemlich suspekt vor, zumal wenn der Definitionsbereich IR ist...

10.09.2006, 18:04

gessi

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RE: Gleichheit von Funktionen (allgemein)
Wieso? Man kann doch von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abbilden, auch wenn nicht alle Werte angenommen werden (dann ist es halt nicht surjektiv). Versteh dein Problem nicht, sorry.

Edit: Das hängt ja auch irgendwie mit meinem Problem zusammen - es stehen zwar verschiedene Dinge da, aber de facto wird doch nur das, was beim zweiten steht (und im ersten enthalten ist) angenommen.

10.09.2006, 18:11

therisen

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Nach deiner Definition sind die Funktionen gleich.

10.09.2006, 18:12

pseudo-nym

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Aber der Wertebereich ist doch nicht gleich geschockt

geschockt

10.09.2006, 18:14

therisen

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Gessi: Poste doch mal bitte deine Definition von Wertebereich.

Siehe nämlich http://de.wikipedia.org/wiki/Wertebereich

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10.09.2006, 18:23

gessi

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Hm... eine genaue Definition haben wir gar nicht. Ich habe nur folgendes gefunden:

"Bestandteile" einer Funktion:
1) Definitionsbereich D
2) Bild- oder Wertebereich B
3) eindeutige Funktionsvorschrift

kompakte Schreibweise:
$\begin{eqnarray*} f: D \to B \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \mapsto f(x) \end{eqnarray*}$

Dazu dann noch, dass f(D) der Bereich der Werte ist, die f annimmt und dass B i.A. größer ist als f(D). Dann ist mit B wohl eher das gemeint, was bei wikipedia als "Zielmenge" bezeichnet ist.

10.09.2006, 18:50

therisen

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Zitat:

Original von gessi
Dazu dann noch, dass f(D) der Bereich der Werte ist, die f annimmt und dass B i.A. größer ist als f(D). Dann ist mit B wohl eher das gemeint, was bei wikipedia als "Zielmenge" bezeichnet ist.

Nein, genau umgekehrt, denn: B <=> Zielmenge würde laut Wikipedia bedeuten:
B <=> Wertebereich, aber nach deiner Definition ist ja Wertebereich <=> f(D), insbesondere also B <=> f(D), was im allgemeinen falsch ist.

Gruß, therisen

10.09.2006, 19:03

gessi

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Jetzt bin ich vollständig verwirrt (vielleicht verstehe ich den Begriff "Zielmenge" bei wiki falsch?)

Also, klar ist mir: $\begin{eqnarray*} f(D) \neq B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(D) \subset B \end{eqnarray*}$

Zitat:

nach deiner Definition ist ja Wertebereich <=> f(D)

Aber bei mir heißt doch der Wertebereich auch B und nicht f(D) verwirrt

verwirrt

(nach Punkt 2)

10.09.2006, 19:31

therisen

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Zitat:

Original von gessi
Dazu dann noch, dass f(D) der Bereich der Werte ist, die f annimmt

der Bereich der Werte = Wertebereich, oder nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Letztlich ist das Haarspalterei - wir betreiben hier Mathematik und nicht Deutsch, also um es kurz zu sagen: Dein Professor hat unsaubere Definitionen gegeben.

10.09.2006, 19:43

Serpen

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ich hätte jetz ne kleine Frage dazu, (erschlagt mich bitte nicht, wenn ihr das schon irgendwie geklärt habt aber das alles hier verwirrt mich)
ist denn die Wertemenge nicht die Menge der Funktionswerte, die entstehen können, wenn man die x-Werte aus der Definitionsmenge einsetzt?
Wenn ja, dann hängt der Wertebereich nicht auch immer vom Definitionsbereich ab?
Wenn das auch stimmt, dann kann es doch keine Abbildung Von IR auf IR mit dem Funktionsterm f(x) = x^2 geben oder?

10.09.2006, 19:47

gessi

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Das ist glaube ich gerade das, was auch bei Wikipedia steht - es ist nicht ganz einheitlich.

Ich kenne es eigentlich schon so, dass eine Funktion z.B. eben von IR nach IR geht, aber bspw. nur die positiven Zahlen trifft. Bei uns steht bei fast allen Funktionen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , auch wenn die Funktion nicht surjektiv ist.

Zitat:

Dein Professor hat unsaubere Definitionen gegeben.

Dann werde ich ihm morgen mal einen Besuch abstatten...

10.09.2006, 19:48

Bjoern1982

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Ich glaube du verwechselst Wertemenge und Zielmenge.

Es ist durchaus üblich eine Abbildung von IR nach IR zu definieren mit f(x)=x^2
Die Frage ist nur wird diese Zielmenge auch komplett ausgeschöpft...

Die Wertemenge ist immer eine Teilmenge der Zielmenge.
Sie können identisch sein - muss aber nicht so sein.

Gruß Björn

10.09.2006, 19:51

therisen

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Zitat:

Original von Serpen
ist denn die Wertemenge nicht die Menge der Funktionswerte, die entstehen können, wenn man die x-Werte aus der Definitionsmenge einsetzt?
Wenn ja, dann hängt der Wertebereich nicht auch immer vom Definitionsbereich ab?

Da bist du etwas durcheinander gekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Wenn das auch stimmt, dann kann es doch keine Abbildung Von IR auf IR mit dem Funktionsterm f(x) = x^2 geben oder?

Nein. Sei $\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Statt B kannst du aber auch jede Obermenge davon angeben und du hast immernoch eine Abbildung. Diese Abbildung kann nun insofern anders sein, als dass sie z.B. nicht mehr surjektiv ist.

Gruß, therisen

10.09.2006, 20:00

Serpen

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Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von Serpen
ist denn die Wertemenge nicht die Menge der Funktionswerte, die entstehen können, wenn man die x-Werte aus der Definitionsmenge einsetzt?
Wenn ja, dann hängt der Wertebereich nicht auch immer vom Definitionsbereich ab?

Da bist du etwas durcheinander gekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

was ist daran durcheinander? verwirrt

verwirrt

Also wenn meine erste Bedingung richt gewesen wäre, dann wäre es doch eine logische Schlussfolgerung gewesen oder nicht?

Eine weitere Frage: Worin liegt denn der Sinn die Wertemenge zu erweitern? Sinn macht es für mich nur sie einzugrenzen....

Edit: ach ja, bedeutet surjektiv nicht, dass Definitions- und Wertemenge übereinstimmen? Wieso sollte q* dann surjektiv sein?

10.09.2006, 20:21

therisen

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Zitat:

Original von Serpen

Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von Serpen
ist denn die Wertemenge nicht die Menge der Funktionswerte, die entstehen können, wenn man die x-Werte aus der Definitionsmenge einsetzt?
Wenn ja, dann hängt der Wertebereich nicht auch immer vom Definitionsbereich ab?

Da bist du etwas durcheinander gekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

was ist daran durcheinander? verwirrt

verwirrt

Also wenn meine erste Bedingung richt gewesen wäre, dann wäre es doch eine logische Schlussfolgerung gewesen oder nicht?

Ich sehe dabei keine Logik. Wenn eine Aussage A von einer Aussage B abhängt, warum soll dann auf einmal eine dritte Aussage C ungleich A auch von B abhängen?

Zitat:

Eine weitere Frage: Worin liegt denn der Sinn die Wertemenge zu erweitern? Sinn macht es für mich nur sie einzugrenzen....

Von Sinn oder Unsinn war ja nicht die Rede, du wolltest eine solche Erweiterung ja einfach verbieten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Edit: ach ja, bedeutet surjektiv nicht, dass Definitions- und Wertemenge übereinstimmen? Wieso sollte q* dann surjektiv sein?

Nein: http://de.wikipedia.org/wiki/Surjektiv
q* ist schon surjektiv... q aber nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

10.09.2006, 23:27

Serpen

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Definition von surjektiv nach Wiki:
"Bild- und Zielmenge stimmen überein"
was sind dann Bild- und Zielmenge? geschockt

geschockt

11.09.2006, 00:57

therisen

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Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Wertemenge Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.09.2006, 13:03

Serpen

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uff ok jetz hab ichs Gott

Gott

das ist ganz schön verwirrend

18.09.2006, 20:38

gessi

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So, nachdem das hier etwas verwirrend war...

Es ging ja darum, ob $\begin{eqnarray*} q: \mathbb R \to \mathbb R,~q(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q*: \mathbb R \to [0, \infty),~q*(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ gleich sind.

Ich war heute bei meinem Prof und er hat gemeint, sie sind nicht gleich, aber man kann nicht nur "nein" hinschreiben, wenn danach gefragt würde, sondern muss das schon noch etwas ausführen.
Wenn man sagen würde, sie sind gleich, dann wäre der Begriff "surjektiv" sinnlos, weil dann dieselbe Funktion gleichzeitig surjektiv und nicht surjektiv wäre.

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