Gebrochen Rationale Exponentialfunktion

09.03.2009, 19:36

Prone

Gebrochen Rationale Exponentialfunktion

Hallo, ich habe hier ein "kleines" Problem bei einer Aufgabe und komme nicht weiter.

Zitat:

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

a) Ermitteln Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f sowie die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen.
b) Untersuchen sie den Graphen auf Symmetrie und Asymptoten.
c) Ermitteln Sie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen.
d) Skizzieren Sie den Graphen von f für -1 < x < 7.

Habe erstmal die gegeben Funktion umgeformt und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{x^{2}}{e^{x}} \end{eqnarray*}$

Und weiter? Wie bekomme ich den größtmöglichen Definitionsbereich? Ist damit der Limes von $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ gemeint?

09.03.2009, 19:52

Q-fLaDeN

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RE: Gebrochen Rationale Exponentialfunktion

Zitat:

Original von Prone
Und weiter? Wie bekomme ich den größtmöglichen Definitionsbereich? Ist damit der Limes von $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ gemeint?

Bitte was? verwirrt

Ein Definitionsbereich ist eine Menge, in der alle x-Werte liegen, für die die Funktion definiert ist.

z. B. ist der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \end{eqnarray*}$

Denn durch keinen einzigen x-Wert wird eine verbotene Rechenoperation durchgeführt.

Für welchen x-Wert wird nun bei deiner Funktion eine verbotene Rechenoperation durchgeführt?

09.03.2009, 20:08

Prone

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RE: Gebrochen Rationale Exponentialfunktion

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Für welchen x-Wert wird nun bei deiner Funktion eine verbotene Rechenoperation durchgeführt?

Also ich sehe da keine.

Denn, egal was ich da einsetze es wird nie durch null geteilt. Also ist der größtmöglichen Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

09.03.2009, 20:19

Q-fLaDeN

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Richtig. Denn die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} g(x) = e^x \end{eqnarray*}$ wird nie 0.

Nun zur b)

Wie überprüft man Funktionen auf Symmetrie? (y-Achsen- und Punktsymmetrie (zum Ursprung))

Zu den Asymptoten:

Es gibt 3 Arten von Asymptoten:
1. Schräge Asymptoten
2. Waagrechte Asymptoten und
3. Senkrechte Asymptoten (= Polstellen)

Welche könnte(n) hier vorliegen und wie überprüft man das?

09.03.2009, 20:33

Prone

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Naja, erstmal muss ich ja die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen.

Aber wie... normalerweise macht man ja Polynomdivision, nur wie soll ich das hier machen?

09.03.2009, 20:35

Musti

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Zitat:

Original von Prone
Naja, erstmal muss ich ja die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen.

Aber wie... normalerweise macht man ja Polynomdivision, nur wie soll ich das hier machen?

Man macht nicht Polynomdivision, sondern man setzt je nachdem ob man Nullstelle oder y-Achsenabschnitt rechnet f(x)=0 bzw. x=0.

09.03.2009, 20:39

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Prone
Naja, erstmal muss ich ja die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen.

Sorry, hatte ich glatt übersehen Big Laugh

09.03.2009, 20:44

Prone

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Also, $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ hat keine Nullstellen und $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ hat eine Doppelte bei 0/0. Nur wie soll man, dass dann einzeichnen?

Konnte mich aber noch dunkel daran erinnern, dass man da Polynomdivision macht.

09.03.2009, 20:46

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Prone
Konnte mich aber noch dunkel daran erinnern, dass man da Polynomdivision macht.

Irgendwie hast du Probleme damit, zu wissen, wann du was anwenden musst. Die Polynomdivision kommt hier gar nicht zum Einsatz.

Wie Musti schon gesagt hat:

Nullstelle(n) auf der x-Achse -> $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ setzen

Nullstelle auf der y-Achse -> $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ setzen

09.03.2009, 20:58

Prone

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Mhh...

Wie denn nun.

Also ich mache $\begin{eqnarray*} 0 = \frac{x^{2}}{e^{x}} \end{eqnarray*}$ .

Und weiter? verwirrt

09.03.2009, 21:03

Q-fLaDeN

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Mit dem Hauptnenner multiplizieren...

Also ein wenig mitarbeiten musst du schon. Eine solche Gleichung nach x aufzulösen ist ein Kinderspiel.

09.03.2009, 21:08

Prone

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Mit dem Hauptnenner multiplizieren...

Also ein wenig mitarbeiten musst du schon. Eine solche Gleichung nach x aufzulösen ist ein Kinderspiel.

Ja ich würde gerne, nur ich verstehe das nicht.

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das Multiplizieren? Unterschiedliche Basis und Exponent.

Da ist mir eben was eingefallen ist das denn richtig so:
$\begin{eqnarray*} e^x = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{e^x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-\sqrt{e^x} \end{eqnarray*}$

Sind das die Nullstellen?

09.03.2009, 21:22

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Prone
Wie soll ich das Multiplizieren? Unterschiedliche Basis und Exponent.

Darum geht es doch gar nicht. Ich meine eine Äequivalenzumformung.

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{x^2}{e^x} \qquad |\cdot e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = ... \end{eqnarray*}$

Wie du auf deinen (völlig falschen) Einfall kommst, ist mir ein Rätsel.

Ich geb nun ab, jemand anders darf weiter machen.

09.03.2009, 21:33

Prone

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Es gibt nur eine (doppel) Nullstelle und zwar die bei x². (0/0)

Oder wie ist es? Kann mir denn niemand mal ein Ergebnis mit Erklärungen nennen, damit ich endlich mal weiter komme?

09.03.2009, 21:39

Q-fLaDeN

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Ja, die Nullstelle ist richtig. Nur deine Formulierungen lassen arg zu wünschen übrig.

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{x^2}{e^x} \qquad |\cdot e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$

09.03.2009, 22:10

Prone

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Ok, danke!

Jetzt zu b

Die Achsensymmetrie bestimmt man so:
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{e^x} \neq \frac{x^2}{e^{-x}} \end{eqnarray*}$

Und Punktsymmetrie so:
$\begin{eqnarray*} f(x) = -f(-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{e^x} \neq -\frac{x^2}{e^{-x}} \end{eqnarray*}$

Also besteht hier keine Symmetrie.

Und die Asymptote geht gegen Null, da der Exponent im Nenner größer ist als der im Zähler (echt gebrochenrationale Funktion) zumindest bei x=3. Aber, da man das hier für große x betrachtet ist das ja egal.

War das so richtig?

10.03.2009, 17:41

Q-fLaDeN

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Symmetrien sind richtig.

Zitat:

Original von Prone
Und die Asymptote geht gegen Null, da der Exponent im Nenner größer ist als der im Zähler (echt gebrochenrationale Funktion) zumindest bei x=3. Aber, da man das hier für große x betrachtet ist das ja egal.

Nein, die Asymptote geht nicht gegen 0. Sondern g(x) = 0 IST die Asymptote.

Deine Begründung lässt aber mal wieder zu wünschen übrig.

Es gibt 3 Sorten von Asymptoten, die hab ich dir schon genannt. Du musst alle 3 überprüfen.

Senkrechte Asymptoten fallen weg, denn Polstellen gibt es nicht.
Schräge Asymptoten auch nicht.

Für die waagrechten Asymptoten musst du

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~f(x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}~f(x) \end{eqnarray*}$

berechnen.

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