Uneigentliches Integral-mit lnx ?

09.03.2009, 20:23

Soniya

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Uneigentliches Integral-mit lnx ?

Wink

Hallo...erstmal. Ich lese hier immer mit und hab nun auch selbst mal eine Frage.

Wir sollen folgendes uneigentliches Integral berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{ x^{2} + x} ~dx \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass es etwas mit der Logarithmusfunktion zu tun hat, aber ich komme einfach nicht drauf.
Dies sind erstmal meine Ansätze...(Dass das Integral existieren muss, habe ich bereits mit einem anderen Satz bewiesen...es muss existieren.)

$\begin{eqnarray*} =\int_{1}^{\infty }~\frac{1}{x\cdot (x+1) } ~dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\int_{1}^{\infty }~\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x+1} ~dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\int_{1}^{\infty}~\frac{\frac{1}{x}}{x+1}~dx \end{eqnarray*}$

Das könnte man ja jetzt theoretisch aufteilen, nur hat man dann das Problem, dass \int_{1}^{\infty }~\frac{1}{x} ~dx ja nicht existiert...

Und ich weiß noch, dass \int_{b}^{a}~\frac{1}{x} ~dx =[lnx]_{b}^a ist.

Und trotz dieser Bruchstücke, kriege ich nichts zusammen...kann mir jemand helfen? Bitte?

09.03.2009, 20:30

Q-fLaDeN

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Stichwort: Partialbruchzerlegung.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} \end{eqnarray*}$

09.03.2009, 20:30

S.

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RE: Uneigentliches Integral-mit lnx ?
Entschuldigung, den letzten Teil kann man ja nicht lesen unglücklich

unglücklich

Also nochmal, es hieß ursprünglich:

Das könnte man ja jetzt theoretisch aufteilen, nur hat man dann das Problem, dass $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty }~\frac{1}{x} ~dx \end{eqnarray*}$ ja nicht existiert...

Und ich weiß noch, dass $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{1}{x} ~dx =[lnx]_{b}^a \end{eqnarray*}$ ist.

Und trotz dieser Bruchstücke, kriege ich nichts zusammen...kann mir jemand helfen? Bitte?

09.03.2009, 20:46

Soniya

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Um ehrlich zu sein, kenn ich mich mit der Partialbruchzerlegung nicht gut aus (und ich bin wirklich! eine Einserschülerin).

Gut, also ich versuch's, vielleicht stell ich mich ja auch grad nur dämlich an *seufz*

Was mach ich denn jetzt mit dem A und dem B ?
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}~dx \end{eqnarray*}$

Ok, Integral-Rechenregeln kenn ich. DAs Ganze könnte man theoretisch mit der Summenregel aufteilen...

Aber existiert das denn überhaupt? $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty }~\frac{A}{x} ~dx \end{eqnarray*}$ Lesen2

Lesen2

Und danke für den Tipp oben....

09.03.2009, 20:50

Q-fLaDeN

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Wenn man diese Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} \end{eqnarray*}$

aufgestellt hat, dann muss man A und B mittels Koeffizientenvergleich ermitteln. Also umstellen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}\qquad | \cdot x(x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = A(x+1)+Bx \end{eqnarray*}$

usw.

09.03.2009, 21:26

Soniya

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Ok, ich hab's mal versucht und bin auf A=1 und B=-1 gekommen.
Müsste doch stimmen ?

Wenn ich das einsetze...
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}- \frac{1}{x+1} ~dx \end{eqnarray*}$

Steh ich doch wieder vor dem Problem, dass ich 1/x nicht integrieren kann...

Oh man, kann dich verstehen, wenn du nicht mehr weitermachen willst...bin ja schon dankbar, dass ich ein STück weiter bin.

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09.03.2009, 21:34

Q-fLaDeN

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Richtig.

Dann hast du:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{ x^{2} + x} ~\dd x = \int_1^\infty~\frac 1 x - \frac{1}{x+1}~\dd x \end{eqnarray*}$

Jetzt ists so gut wie gelöst. Aber du widersprichst dir selbst und machst dir so das Leben schwer:

Zitat:

Original von S.
Steh ich doch wieder vor dem Problem, dass ich 1/x nicht integrieren kann...

Zitat:

Original von S.
Und ich weiß noch, dass $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{1}{x} ~dx =[lnx]_{b}^a \end{eqnarray*}$ ist.

09.03.2009, 21:49

Soniya

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Ok!

Freude

Dann bin ich ja beruhigt.

ABER ich meinte das eher so...wir haben in deR Schule durchgenommen, dass das uneigentliche Integral von 1/x nicht existiert....

Also das hier: $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{ \infty }~\frac{1}{x}~dx \end{eqnarray*}$ gibt es doch gar nicht, weil es gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ strebt...

Und um ehrlich zu sein war genau das von Anfang an mein Problem...

09.03.2009, 22:06

Leopold

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Wenn bei einem Grenzübergang die zwei Summanden konvergieren, dann konvergiert auch die Summe.

Wenn du in dieser bekannten Regel "konvergieren" durch "divergieren" ersetzt, wird sie falsch. Es ist richtig:

$\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \frac{1}{x}~\dd x \ \ \text{und} \ \ \int_1^{\infty} \frac{1}{x+1}~\dd x \ \ \text{divergieren} \end{eqnarray*}$

Dennoch gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right)~\dd x \ \ \text{konvergiert} \end{eqnarray*}$

Tip: Integriere erst unbestimmt und fasse nach einem Logarithmusgesetz zusammen. Nimm dir erst dann mit der "Gesamtstammfunktion" den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ vor.

09.03.2009, 22:20

Soniya

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Gott

Danke, danke, danke....

ALSO:
$\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right)~\dd x \ \ \ \end{eqnarray*}$

Wäre unbestimmt integriert:

$\begin{eqnarray*} lnx-ln(x+1)=ln(\frac{x}{x+1} )=ln(\frac{1}{1-\frac{1}{x} }) \end{eqnarray*}$

Und das wäre dann ? Null ? Tränen

Tränen

(Hab ich jedenfalls rausbekommen...)

09.03.2009, 23:17

Leopold

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Hast du auch an die untere Integrationsgrenze gedacht? Mit $\begin{eqnarray*} F(x) = \ln \frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} \left( F(b) - F(1) \right) = \lim_{b \to \infty} F(b) - F(1) \end{eqnarray*}$

zu berechnen.

Und schau in deiner letzten Umformung noch einmal nach den Vorzeichen.

09.03.2009, 23:29

Soniya

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Oh, na klar, das Vorzeichen geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} F(b) \end{eqnarray*}$ ergibt meines Erachtens Null , und $\begin{eqnarray*} F(a) \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} ln (0,5) = -0,693 \end{eqnarray*}$

JEtzt müsste es aber richtig sein?

10.03.2009, 09:08

klarsoweit

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Und was hast du jetzt als Gesamtergebnis?

10.03.2009, 15:22

Soniya

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Na eigentlich das, was ich oben hingeschrieben habe...

Also einfach $\begin{eqnarray*} -ln(0,5) \end{eqnarray*}$ (siehe oben).

Müsste doch stimmen...!?

10.03.2009, 15:33

klarsoweit

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Das hatte ich befürchtet. Wie man leicht sieht, ist die Funktion positiv, so daß ein Integral keinen negativen Wert ergeben kann.

EDIT: Bitte nicht lesen!!! Ich weiß nicht, welche Mäuse ich da gesehen hab. Hammer

Hammer

10.03.2009, 16:04

Leopold

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das hatte ich befürchtet. Wie man leicht sieht, ist die Funktion positiv, so daß ein Integral keinen negativen Wert ergeben kann.

$\begin{eqnarray*} - \ln{0{,}5} \end{eqnarray*}$ ist zwar etwas ungewöhnlich geschrieben, aber positiv. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde halt einfach $\begin{eqnarray*} \ln 2 \end{eqnarray*}$ schreiben.

10.03.2009, 16:12

Leopold

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Zitat:

Original von Soniya
$\begin{eqnarray*} F(b) \end{eqnarray*}$ ergibt meines Erachtens Null

Aber nur, wenn man großzügig $\begin{eqnarray*} b=\infty \end{eqnarray*}$ schreibt, und $\begin{eqnarray*} F(\infty) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} F(x) \end{eqnarray*}$ interpretiert.
Fortgeschrittene tun das so, weil sie im Gespür haben, wie weit sie in der Arbeit mit den uneigentlichen Symbolen $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ gehen dürfen. Anfängern sei aber dringend angeraten, solche Aussagen deutlich mit Hilfe des Grenzwertbegriffs zu formulieren. Und wenn sie dann genügend Erfahrung haben, dürfen sie auch in der Schreibweise ein bißchen schlampern ...

10.03.2009, 17:53

Soniya

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Eine andere Schreibweise kenn ich leider gar nicht, wir schreiben das immer so...aber trotzdem vielen DAnk für die ganzen Tipps.

Das Ergebnis ist aber richtig, oder? (ln2)

Oder ist das hier: $\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } ln(\frac{1}{1+\frac{1}{b} }) \end{eqnarray*}$ nicht gleich Null ? geschockt

geschockt

Ich hab mir einfach Folgendes gedacht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ geht ja gegen Null für $\begin{eqnarray*} b \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Das heißt, dass da steht: $\begin{eqnarray*} ln (1/1) = ln 1= 0 \end{eqnarray*}$

10.03.2009, 18:25

Leopold

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Mich hat das gestört:

Zitat:

Original von Soniya
$\begin{eqnarray*} F(b) \end{eqnarray*}$ ergibt meines Erachtens Null

Hier steckt ja noch eine Variable $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ drin, also kann das ja auch nicht Null sein, nicht wahr?

$\begin{eqnarray*} F(b) = \ln \frac{b}{b+1} = \ln \frac{1}{1 + \frac{1}{b}} \end{eqnarray*}$

Setzt man z.B. $\begin{eqnarray*} b = 1003{,}2009 \end{eqnarray*}$ , bekommt man $\begin{eqnarray*} F(1003{,}2009) = -0{,}0009963 \ldots \end{eqnarray*}$

Und daß das Null wäre, sehe ich nicht. Und auch für kein anderes $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ergibt sich jemals 0. Damit ist deine Aussage als falsch nachgewiesen.

Was du natürlich gemeint hast (das ist mir schon klar, ich bin ja nicht blöd!), ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} F(b) = 0 \end{eqnarray*}$

Nur dann hättest du es auch gleich so schreiben sollen. Eigentlich wollte ich dich nur zur Genauigkeit im Denken und Schreiben anhalten. Daß du die Sache von der Intuition her verstanden hast, geht aus deinen Beiträgen klar hervor. Freude

Freude

13.03.2009, 23:49

Soniya

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Oh, na klar! geschockt

geschockt

Da hast du natürlich vollkommen rRecht!

Nochmals vielen lieben Dank Wink

Wink

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