Ableitung

Warum ist das denn so? Ich hab versucht, das mit dem Differentialquotienten herzuleiten, bekomme aber als Ableitung "0", was ja 100% falsch ist. verwirrt

04.06.2004, 22:01

Daniel

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Hmm du weisst über Euler bescheid was e ist etc?

04.06.2004, 22:04

m00xi

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@MSS:
Das geht so:
Zuerst hast du:
$\begin{align*} f(x)=a^x \end{align*}$
Logarithmieren beider Seiten bringt:
$\begin{align*} ln(f(x))=xln(a) \end{align*}$
Ableiten, wobei in meinem Buch die Ableitung von $\begin{align*} ln(f(x)) \end{align*}$ über die Kettenregel gebildet wird.
Daher:
$\begin{align*} \frac{f'(x)}{f(x)}=ln(a) \end{align*}$
Nun noch mit $\begin{align*} f(x)=a^x \end{align*}$ multiplizieren und du erhältst:
$\begin{align*} f'(x)=a^xln(a) \end{align*}$

04.06.2004, 22:19

Mathespezialschüler

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Naja, ich weiß, dass e die einzige positive Zahl r ist, für die gilt

$\begin{align*} r^x\ \geq \ x\ +\ 1 \end{align*}$

, aber sonst auch nich viel. Ich kann ja mal meinen Ansatz für den Differentialquotienten geben:

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)\ -\ f(x)}{h} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h}\ -\ a^x}{h} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \lim_{h \to 0} \frac{a^x\cdot a^h\ -\ a^x}{h} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \lim_{h \to 0} \frac{a^x(a^h\ -\ 1)}{h} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \frac{a^x\ \cdot \ \lim_{h \to 0}(a^h\ -\ 1)}{\lim_{h \to 0} h} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \frac{a^x\ \cdot \ (a^0\ -\ 1)}{\lim_{h \to 0} h} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \frac{a^x\ \cdot \ (1\ -\ 1)}{\lim_{h \to 0} h} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \frac{a^x\ \cdot \ 0}{\lim_{h \to 0} h} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ 0 \end{align*}$

Ich denk mal der Fehler liegt beim Bilden des Grenzwertes oder? verwirrt

edit: Schön, m00xi, danke! Aber ich denke, bevor man ich die Ableitung von e^x weiß, weiß man auch nich die von ln(x) oder?

04.06.2004, 22:25

m00xi

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Also entweder du darfst den Grenzwert aus irgendeinem Grund nicht aufspalten ( einen Grund, der mir jetzt hier nicht einfällt ), oder, wenn nicht, dann ist die letzte Zeile falsch, denn du kannst nicht einfach den Grenzwert h gegen 0 im Nenner misachten. 0/0 ist nicht definiert, daher ist der letzte Schritt unzulässig.

Ich erinnere mich da an leopold's frage:
Er gab einen Ausschnitt aus einer Arbeit bei der ( so in der Art jedenfalls )gefragt wurde, wieso man den Grenzwert für $\begin{align*} (1+\frac{1}{n})^n \end{align*}$ für $\begin{align*} n\to \infty \end{align*}$ nicht auf 1 setzen könne, da die Klammer 1 gäbe und 1 hoch unendlich 1 wäre. Sowas ähnliches könnte das ja vielleicht auch bei dir sein, dass man die nicht aufteilen kann weil sie unmittelbar zusammengehören. Da müssten wir aber mal Leopold abwarten.

04.06.2004, 22:47

Irrlicht

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Also nicht nur Leopold weiss einen Grund, warum du den Grenzwert nicht aufspalten darfst (4. Gleichheitszeichen). Der Ausdruck "0 durch 0" ist naemlich nicht definiert. Und
$\begin{align*} \frac{a^x\ \cdot \ \lim_{h \to 0}(a^h\ -\ 1)}{\lim_{h \to 0} h} =\frac{0}{0} \end{align*}$

Du kannst aber a^x aus dem Grenzwert rausziehen:

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{a^x(a^h\ -\ 1)}{h}=\ a^x\, \lim_{h \to 0} \frac{(a^h\ -\ 1)}{h} \end{align*}$

04.06.2004, 22:54

Poff

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Die Ableitung von a^x egibt sich wie Deakandy schon geschrieben
aus dieser Umformung
a^x = (e^ln(a))^x = e^x*ln(a)

(a^x)' = (e^x*ln(a))' = (e^x*ln(a)) * ln(a) = ln(a) * a^x

...

Grenzwert, ohne das genau angeschaut zu haben, kann das
natürlich NICHT in eine Division durch Null aufgespaltet werden
dieweil das ja NICHT rechenbar ist ....

Genau dafür ist doch die Grenzwertbildung da, um solche
Probleme falls möglich zu berechnen.

0/0 z.B. kann 0, oder eine sonstige beliebige Zahl, oder eben
auch nicht existent sein ....

diese Probs versucht man über Grenzwertprozesse zu bestimmen
und dies sind nicht einfach 'verlängerte' Divisionen ...

smile

04.06.2004, 23:11

SirJective

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Zu Deakandys und Poffs Beitrag muss ich fragen:

Wie sind denn die Funktionen exp: x -> e^x und ln: x -> ln(x) definiert? Woher weiss man, dass exp'(x) = exp(x) ist, und dass a^x = exp(ln(a^x)) = exp(x ln(a)) ist?

04.06.2004, 23:13

Mathespezialschüler

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Und wie kommt man dann erstmal auf die Ableitung von e^x??? Das is mir ja auch nich klar.

@SirJective

$\begin{align*} a^x\ =\ e^y \end{align*}$

$\begin{align*} y\ =\ ln(a^x) \end{align*}$

$\begin{align*} a^x\ =\ e^{ln(a^x)} \end{align*}$

Lernt man das nich schon in der 10.ten??

edit: Ich denke eigentlich nicht, dass du das nicht kannst. Also war das jetzt eher auffordernd gefragt, also so, dass sie das, was du jetzt gefragt hast erstmal beweisen sollen?

04.06.2004, 23:41

Poff

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@SirJective

berechtigte Frage, *gg*

kommt eben durch den Durcheinander der in dieser Beziehung
hier abläuft ... und den Folgeprobs ...

Eine Möglichkeit ...

ln(x) := 1..x int(1/x)

ln(x)' = (1..x int(1/x))' =1/x

exp(x): = inv(ln(x))

(exp(x))' = 1/ (inv(exp(x)))' diff nach exp(x) !!
= 1/(ln(exp(x)))' diff nach exp(x) = 1/(1/exp(x)) =exp(x)

in dem Dreh ...

smile

04.06.2004, 23:48

Philipp-ER

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Naja, aus
$\begin{align*} e=\lim (1+\frac{1}{n})^n \end{align*}$
folgt mit einiger Rechnung
$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h}=\ln(a) \end{align*}$
Damit ist e dann auch als die Zahl mit (e^x)'=e^x identifiziert.

04.06.2004, 23:53

Poff

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Ist das nicht etwas Zirkelschluss ??

Woher kommt lim((1+1/n)^n) = e

.

04.06.2004, 23:54

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Poff

ln(x) := 1..x int(1/x)

Kannst du das mal ausfürhlicher schreiben? Ist das ne Summe oder n Produkt oder was soll das sein? Diese Definition hab ich noch nie gesehen. Wie kommt man darauf??

04.06.2004, 23:56

Philipp-ER

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@Poff: Das ist doch einfach die Standarddefinition von e als Zahl, unabhängig von Funktionen/Ableitungen etc.
@Mathespezialschüler:

$\begin{align*} ln(x):=\int\limits_{1}^x \frac{1}{t}dt \end{align*}$

04.06.2004, 23:56

Irrlicht

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Also man diesen Differenzenquotienten so wies MSS probiert hat ausrechnen, wenn man die e-Funktion als Reihe definiert und ein wenig Restgliedabschätzung betreibt. Aber das wär hier doch zu aufwendig.

Ob Zirkelschluss oder nicht hängt also in der Tat von der Definition der e-Funktion ab. Auf welche Definition einigen wir uns jetzt? Big Laugh

Und vor allem, wenn ich e als diesen Grenzwert definiere, wie definiere ich dann mit der die e-Funktion? Allgemeiner, wie definiere ich für eine positive reelle Zahl a und eine reelle Zahl x den Wert a^x?

04.06.2004, 23:57

Leopold

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Aber m00xi hat schon recht, mit dem Grenzwert ist es ähnlich wie bei

$\begin{align*} $1+\frac{1}{n}$^n \end{align*}$

Da wirken zwei Kräfte in unterschiedliche Richtungen:

1. Wenn in einem Bruch der Zähler gegen 0 geht, zieht das den Bruch (sofern der Nenner konstant ungleich 0 ist) gegen 0.

2. Und wenn in einem Bruch der Nenner gegen 0 geht, zieht das den Bruch (sofern der Zähler konstant ungleich 0 ist) ins Unendliche.

Und wenn nun in einem Bruch sowohl Zähler als auch Nenner gegen 0 gehen, kann man keine für alle Fälle allgemeingültige Antwort geben. Es ist aber gerade der Witz der Differentialrechnung, daß der Differenzenquotient (der ja für h gegen 0 immer von der Form "0/0" ist) bei "vernünftigen" Funktionen einen Limes hat, aber eben immer in Abhängigkeit sowohl von Funktion als auch von x-Stelle einen anderen. Wenn da immer (wie bei der falschen Überlegung von MSS) 0 herauskäme, könnten wir die ganze Differentialrechnung auf den Müll werfen.

05.06.2004, 00:00

Philipp-ER

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Naja, aus
e=lim (1+1/n)^n ergibt sich mit einigermaßen großem Aufwand
e^x= lim (1+x/n)^n
sowie über den Grenzwert ...=ln(a), der wie gesagt aus der Definition von e folgt (auch mit mittelgroßem Aufwand) dann als Ableitung von e^x gerade e^x. Ich könnte mir vorstellen, dass das dem historischen Weg einigermaßen nahe kommt.

05.06.2004, 00:00

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Philipp-ER
@Poff: Das ist doch einfach die Standarddefinition von e als Zahl, unabhängig von Funktionen/Ableitungen etc.
@Mathespezialschüler:

$\begin{align*} ln(x):=\int\limits_{1}^x \frac{1}{t}dt \end{align*}$

Mit Integralen kann ich noch nichts anfangen. Außerdem leitet man ja die Ableitung wohl vor der Integralrechnung her.

05.06.2004, 00:02

Leopold

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Muß man nicht!

05.06.2004, 00:03

Philipp-ER

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Ok, jetzt ist Leopold mir zuvor gekommen. Wie motiviert man jedoch ohne Differentialrechnung die Integralrechnung? Ihr Ziel ist es ja eigentlich, aus dem Änderungsverhalten einer Funktion die Funktion selbst zu rekonstruieren, doch so geht es ja nicht, wenn man die Differentialrechnung erst danach macht. Wie also dann?

05.06.2004, 00:04

Mathespezialschüler

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Was muss man nich?? verwirrt

05.06.2004, 00:05

Philipp-ER

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Differentialrechnung vor der Integralrechnung machen.

05.06.2004, 00:11

Mathespezialschüler

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Also eigentlich will ich ja nur ne Herleitung, die ich auch verstehe.

Vielleicht @Leopold

Wie leitet man das in der 11.Klasse her (wenn überhaupt) bzw. wie könnte man es mit Wissen der 11.Klasse herleiten??

Ich hoffe, du weißt, was ich meine Augenzwinkern

05.06.2004, 00:12

Poff

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Was muss man nich?? verwirrt

Es gibt nicht NUR Ja oder Nein, es gibt auch ein 'sowohl als auch'

.

05.06.2004, 00:20

Mathespezialschüler

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Das versteh ich jetz wieder nich verwirrt

05.06.2004, 00:35

Poff

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@Mathespezialschüler

wenn du 95% von dem was am Tag hier anfällt verstehst
und den Rest nicht, dann ist's nicht weiter schlimm *ggg*

Scherz beiseite, das sind halt Fragen der Reihenfolge, des
Aufbaus, der Definitionen ....

Wie's historisch genau abgelaufen ist, weiß ich nicht, würd mich
aber ECHT mal interessieren.

Davon ab kann man das eben auf recht unterschiedliche Weise
aufbauen und der historische Weg muss nicht der 'vernüftigste'
und auch nicht der einfachste sein ...

smile

05.06.2004, 00:52

WebFritzi

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Zitat:

Original von Poff
Wie's historisch genau abgelaufen ist, weiß ich nicht, würd mich
aber ECHT mal interessieren.

Also, zuerst war auf jeden Fall die Differentiation. Die hatten Newton und Leibnitz unabhängig voneinander gefunden (oder erfunden?). Ehrlich gesagt, genau kenne ich mich da auch nicht aus. Aber ich glaube, es wurde auch schnell erkannt, wie Differential- und Integralrechnung zusammenhängen.

05.06.2004, 00:57

Philipp-ER

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Naja, soweit ich weiß hatten sogar die alten Griechen schon eine Vorform der Integralrechnung, diese scheint also doch deutlich älter zu sein.

05.06.2004, 00:57

Ben Sisko

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Hier steht, dass der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung schon vor der Formulierung der modernen Differentialrechnung gefunden wurde verwirrt

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