Bildkreisbestimmung

09.03.2009, 23:17

commander731

Bildkreisbestimmung

Hallo allerseits,

hab hier eine Beispielaufgabe und komme nicht so ganz damit klar.

Bestimme den Bildkreis von

$\begin{eqnarray*} |z-1-0,5j| = 2 \end{eqnarray*}$

bei Inversion.

Wie kann man hier vorgehen, was bedeutet "Bildkreis" in diesem Sinne eigentlich?

Danke für die Antworten

10.03.2009, 02:47

mYthos

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Die oben genannte Betragsgleichung beschreibt eine Kreislinie, auf der die Spitzen aller Zeiger $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ liegen. Bildet man den Kehrwert aller dieser komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ , so beschreiben deren Zeigerspitzen wiederum einen Kreis, welcher den Bildkreis der Inversion $\begin{eqnarray*} w = \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ des ursprünglichen Kreises am Einkeitskreis (r = 1) der komplexen Zahlenebene darstellt.

Die Kennzeichen dieser (komplexen) Inversion

$\begin{eqnarray*} w: z \to z' \end{eqnarray*}$
-------------------------

$\begin{eqnarray*} z = (|z|]; \varphi) \to z' = (|z'|; \varphi') \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z'| = \frac{1}{|z|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi' = -\varphi \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------

Für die Koordinaten gilt sinngemäß:

$\begin{eqnarray*} x' = \frac{x}{x^2 + y^2} \ \text{und} \ y' = -\frac{y}{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{x'}{x'^2 + y'^2} \ \text{und} \ y = -\frac{y'}{x'^2 + y'^2} \end{eqnarray*}$

mY+

Rot: Gegebener Kreis
Blau: EK
Grün: Bildkreis

11.03.2009, 15:02

commander731

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Bis hierher schonmal danke!

Also, hab versucht das mal aufzumalen und den Mittelpunkt berechnet, welcher beträgt:

$\begin{eqnarray*} m= 1 + \frac{1}{2}j = \frac{\sqrt{5} }{2} e^{j26,565} \end{eqnarray*}$

Wie kriege ich jetzt die Koordinaten für die Inversion?

12.03.2009, 02:17

mYthos

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Mit anderen Worten, das, was du berechnet hast, ist der Mittelpunkt des gegebenen (roten) Kreises. Du brauchst nun noch den Zusammenhang der Koordinaten der Punkte auf der Kreislinie (Radius r = 2), bevor du darauf dann die o. a. Transformationsformel der Inversion anwenden kannst.

Zu den Punkten P(x; y) der Kreislinie (Mittelpunkt M) führen alle Zeiger der komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} z = x + yj \end{eqnarray*}$ , für die gilt, dass

$\begin{eqnarray*} |\vec{MP}| = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec{P} - \vec{M}| = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x + yj - (1 + \frac{j}{2})| = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |(x - 1) + (y - \frac{1}{2})j| = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x - 1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = 4 \end{eqnarray*}$

Setze nun für x, y den unteren Teil der Transformationsformeln der Koordinaten ein*, die in x' und y' erhaltenen Gleichung ist die des inversen Kreises. Letztendlich ist aus dessen Mittelpunkt und Radius der Bildkreis abzulesen (grüner Kreis) bzw. wieder die dazugehörige komplexe Relation (Betragsgleichung wie beim gegebenen Kreis) zu bestimmen.

Du solltest dir auch klarmachen bzw. nachvollziehen können, wie sich aus der oben gegebenen allgemeinen Definition (Kennzeichen) der Inversion die Transformationsformeln für die Koordinaten ergeben.

*
Hinweis: Zur leichteren Rechnung quadriere zuerst aus und fasse nach Einsetzen der Transformationsformel die quadr. x'- und y'-Glieder zusammen, dabei wird durch den Zähler zu kürzen sein! Wenn du das übersiehst, gerät die Rechnerei ansonsten zu einem Fiasko.

mY+

13.03.2009, 01:54

commander731

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Zitat:

Original von mYthos

$\begin{eqnarray*} (x - 1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = 4 \end{eqnarray*}$

muss hier nicht folgendes gelten? j zum Quadrat ergibt doch -1..

$\begin{eqnarray*} (x - 1)^2 - (y - \frac{1}{2})^2 = 4 \end{eqnarray*}$

_______________________________________________________

und das prophezeite Rechenfiasko ist mir soeben widerfahren ;-)

ausquadriert:

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+1-y^2+y-\frac{1}{4} = 4 \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x'}{x'^2+y'^2} -2(\frac{x'}{x'^2+y'^2}) +1 - (-\frac{y'}{x'^2+y'^2}) + (-\frac{y'}{x'^2+y'^2} ) -\frac{1}{4} = 4 \end{eqnarray*}$

Wo kann ich die Glieder hier zusammenfassen? Ich sehe da nichts traurig

_______________________________________________________

achja und was ich auch nicht begreife:

dachte, dass hier gilt:

$\begin{eqnarray*} r =2 \end{eqnarray*}$

und doch gleichzeitig

$\begin{eqnarray*} r = |m| = |1+\frac{1}{2}j| =0,881966 \neq (r= 2) \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): 3-fach Post zusammengefügt.

13.03.2009, 19:39

mYthos

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Zitat:

Original von commander731

Zitat:

Original von mYthos

$\begin{eqnarray*} (x - 1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = 4 \end{eqnarray*}$

muss hier nicht folgendes gelten? j zum Quadrat ergibt doch -1..

$\begin{eqnarray*} (x - 1)^2 - (y - \frac{1}{2})^2 = 4 \end{eqnarray*}$
...

Nein, da liegst du falsch, denn im Betrag kommt NICHT $\begin{eqnarray*} j^2 \end{eqnarray*}$ vor, sondern nur Real- und Imaginarteil!! Also flugs die falschen MINUS wieder zu PLUS werden lassen!

Zitat:

Original von commander731
...
ausquadriert:

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+1-y^2+y-\frac{1}{4} = 4 \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x'}{x'^2+y'^2} -2(\frac{x'}{x'^2+y'^2}) +1 - (-\frac{y'}{x'^2+y'^2}) + (-\frac{y'}{x'^2+y'^2} ) -\frac{1}{4} = 4 \end{eqnarray*}$

Wo kann ich die Glieder hier zusammenfassen? Ich sehe da nichts traurig

...

Ausser den Vorzeichen nochmals Rechenfehler! Die Brüche für $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ musst du selbstverständlich quadrieren!

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x'^2}{(x'^2+y'^2)^2} -2\frac{x'}{x'^2+y'^2} +1 + \frac{y'^2}{(x'^2+y'^2)^2} -\frac{y'}{x'^2+y'^2} +\frac{1}{4} = 4 \end{eqnarray*}$

So, und nun den ersten und vierten Summand zusammenfassen.

Zitat:

Original von commander731
...
achja und was ich auch nicht begreife:

dachte, dass hier gilt:

$\begin{eqnarray*} r =2 \end{eqnarray*}$

und doch gleichzeitig

$\begin{eqnarray*} r = |m| = |1+\frac{1}{2}j| =0,881966 \neq (r= 2) \end{eqnarray*}$
...

Der Radius (r) des Kreises ist sicher NICHT der Betrag von m, denn m ist der Vektor vom Nullpunkt zum Mittelpunkt und dieser hat mit dem Radius wenig zu tun.
Mache dir das einmal an Hand der Grafik klar, indem du sie mit diesen Elementen ergänzt.

mY+

14.03.2009, 15:17

commander731

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Also gut, ich bin auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} x'^2+y'^2 - \frac{2x'+y'}{x'^2+y'^2} = \frac{11}{4} \end{eqnarray*}$

hmm ja und was hab ich jetzt damit, 11/4 ist doch nicht der Radius, oder?

14.03.2009, 18:37

mYthos

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Nein, das ist er bestimmt nicht. Abgesehen davon, dass deine Endgleichung nicht stimmt, musst du die Mittelpunktskoordinaten und den Radius mittels der quadratischen Ergänzungen bestimmen, denn die allgemeine Gleichung eines Kreises lautet

$\begin{eqnarray*} (x - x_m)^2 + (y - y_m)^2 = r^2 \ .. \ M(x_m; y_m) \end{eqnarray*}$

Nach Multiplikation und Vereinfachung solltest du erhalten:

$\begin{eqnarray*} 4 - 2x' + y' - \frac{11}{4}(x'^2 + y'^2) = 0 \end{eqnarray*}$

Nun durch $\begin{eqnarray*} - \frac{11}{4} \end{eqnarray*}$ dividieren und die Terme entsprechend quadratisch ergänzen, sodass schließlich kommt:

$\begin{eqnarray*} (x' + \frac{4}{11})^2 + (y' - \frac{2}{11})^2 = (\frac{8}{11})^2 \end{eqnarray*}$

Darin sieht man nun die Mittelpunktskoordinaten und den Radius; vergleiche dies auch mit der Grafik!

Und daraus wird letztendlich wieder die Betragsgleichung für alle komplexen Zahlen zu erstellen sein, die zu Punkten der invertierten Kreisline hinführen. Das ist dann die Menge aller zu der gegebenen komplexen Zahlenmenge invertierten komplexen Zahlen.

mY+

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