Binomialkoeffizient mit k = 0

10.03.2009, 17:20

Philodoof

Binomialkoeffizient mit k = 0

Ich hatte gerade im Lehrstoff folgende Aufgabe:

B (10;0,1;0) sollte ich bestimmen.

Ich kam da auf 0. In der Lösung steht jedoch als Ergebnis 0,3487.

Alle anderen Aufgaben hatte ich richtig gelöst. Bei diesen anderen Aufgaben wich k von 0 ab. Daher vermute ich, dass es damit zusammenhängt. Kann da jemand Licht ins Dunkel bringen?

10.03.2009, 18:05

BarneyG.

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Na, du musst doch nur die Definition beachten:

B(n;p;k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Mit deinen Zahlen ergibt sich:

B(10;0,1;0) = (10 über 0) * 0,1^0 * 0,9^10 = 1 * 1 * 0,9^10 = 0,3487...

Da ist doch eigentlich nichts Schwieriges dabei! Big Laugh

Grüße

10.03.2009, 18:19

Philodoof

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Da wo du die erste eins hast, bei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ da komme ich auf 0, nicht eins.

EDIT: das mit 0 war Schwachsinn - 10:0 gibt ja nciht null und man darf ja gar nciht durch null teilen, also wäre die Aufgabe doch unlösbar, oder?! verwirrt

10.03.2009, 18:42

Borsk

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$\begin{eqnarray*} \binom{10}{0}=1 \end{eqnarray*}$ weil 0!=1 ist. siehe z-B- auch http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoe...nt#Rechenregeln

10.03.2009, 19:00

Philodoof

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Warum ist 0! denn 1? verwirrt

Gibts dafür auch eine sinnige Herleitung? Weil irgendwie erscheint mir das unlogisch. verwirrt

Denn damit ist ja 0! = 1!, aber 0! müsste doch < 1! sein, oder?...hm... verwirrt

10.03.2009, 19:08

Borsk

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man kann sagen: wie viele Möglichkeiten gibt es, die leere Menge anzurdnen? Genau 1. Wenn du es genauer haben willst, such mal nach der Gamma-Funktion.

einige sagen auch, dass es eine art "logische festlegung" ist, wie $\begin{eqnarray*} 0^0=1 \end{eqnarray*}$ , die zwar am Anfang unlogisch aussieht, aber im Nachhinein sehr logisch und notwendig ist.

10.03.2009, 19:26

Philodoof

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Ich danke euch beiden für die Hilfe. smile

10.03.2009, 20:08

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Für eine Summe

$\begin{eqnarray*} s_n := \sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$

gilt die Rekursion $\begin{eqnarray*} s_n = s_{n-1} + a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ . Aus Gründen vereinfachter Darstellung wäre es ganz schön, wenn diese Rekursion bereits für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ gilt, was nur mit $\begin{eqnarray*} s_0=0 \end{eqnarray*}$ möglich ist. Daher gibt es die Konvention, die "leere Summe" mit Wert 0 festzulegen.

---------------------------

Analog beim Produkt: Für

$\begin{eqnarray*} p_n := \prod\limits_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$

gilt die Rekursion $\begin{eqnarray*} p_n = p_{n-1} \cdot a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ . Damit dies bereits für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ gilt, legt man $\begin{eqnarray*} p_0=1 \end{eqnarray*}$ fest, als Wert des "leeren Produkts".

Der Spezialfall $\begin{eqnarray*} a_k=k \end{eqnarray*}$ mit dann $\begin{eqnarray*} p_n = n! \end{eqnarray*}$ passt genau in dieses Schema:

Die Festlegung $\begin{eqnarray*} 0! = 1 \end{eqnarray*}$ ermöglicht also die Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} n! = n\cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ , also speziell auch für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ , was mit der Festlegung $\begin{eqnarray*} 0! = 0 \end{eqnarray*}$ nicht möglich wäre. Mit all den Folgerungen würde jede Festlegung von $\begin{eqnarray*} 0! \end{eqnarray*}$ anders als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ einen enormen Rattenschwanz an Ausnahmeregelungen vieler Formeln nach sich ziehen - wer will das schon? Augenzwinkern

11.03.2009, 11:34

Philodoof

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Also wenn ich das richtig verstehe ist 0! = 1 zwar eigentlich falsch, aber weil es insgesamt einfacher wäre, wenn 0! =1 wäre, hat man gesagt, wir einigen uns trotzdem darauf, dass das so richtig ist? ^^

11.03.2009, 15:45

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Zitat:

Original von Philodoof
Also wenn ich das richtig verstehe ist 0! = 1 zwar eigentlich falsch

Nein, nicht "eigentlich falsch". Es ist nur so, dass die Interpretation von $\begin{eqnarray*} 0! \end{eqnarray*}$ als Anzahl der Permutationen von 0 Elementen fragwürdig ist. Es gibt hier in dem Sinne keine "richtige" Definition auf dem Weg über die Permutationen. Im rekursiven Sinne allerdings ist $\begin{eqnarray*} 0! = 1 \end{eqnarray*}$ die sinnvollste Festlegung.

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