Ableitungen

10.03.2009, 21:11

blubblub

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Ableitungen

Also eigentlich leigt mir das Thema recht gut, nur haben wir nun Übungsaufgaben bekommen die wir so noch nicht hatten und mit den ich meine Probleme habe. Da ich vor der nächsten Klausur keinen Unterricht mehr habe, frage ich euch mir zu helfen. Wahrscheinlich fehlt nur ein kleiner Gedaankenanstoß/Hinweis:

Hier mal die Aufgabe:
1]
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x)=2x^3 - (3a+3) x^2 + ax
Für welche Werte von a liegt ein Hochpunkt von f oberhalb der 1. Achse?

10.03.2009, 21:17

Jacques

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Hallo,

Ermittle allgemein die Hochpunkt-Koordinaten in Abhängigkeit von a (für welche x ist das hinreichende Kriterium erfüllt? Wie lautet dann f(x)?). Am Ende legst Du a so fest, dass die y-Koordinate des Hochpunkts positiv ist.

10.03.2009, 22:01

blubblub

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Hab jetzt hier stehen x^2 - ax +1/2x + 1/6a = 0
was genau ist jetzt zu tun, das ich an den hochpunkt heran komme?

10.03.2009, 22:11

Jacques

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Ich habe:

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) = 6x^2 - (6a + 6)x + a \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) = 0 \ \Longleftrightarrow\ x^2 - (a + 1)x + \frac{a}{6} \end{eqnarray*}$

Kannst Du Dein Ergebnis nochmal überprüfen? Das +1/2x müsste falsch sein. Ansonsten gehst Du wie immer vor: Ermittle die Lösungen der obigen Gleichung. Das sind die potentiellen x-Koordinaten der Hochpunkte. Bei diesen überpfüfst Du dann noch die hinreichenden Kriterien (zweite Ableitung negativ/Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung von + nach -)

10.03.2009, 22:18

blubblub

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oke aber wie löst man allgemein ne wurzel mit a auf? oder muss ich schon vorher was einsetzen?

10.03.2009, 22:24

Jacques

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Löse die Gleichung ganz normal nach x auf -- z. B. mit der pq-Formel. Dann erhältst Du zwei Lösungen für x.

Du bildest anschließend die zweite Ableitung und prüfst, bei welchen der beiden Lösungen die zweite Ableitung negativ ist.

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10.03.2009, 22:25

blubblub

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ja aber mit a kann ich das nicht machen, man muss das doch generell ausformulieren, ich weiß nicht wie das gehen soll weil ich ja dann auch wurzel aus a ziehen müsste, die allgemeine aufstellung bereitet mir probs, pq formel is klar...

10.03.2009, 22:28

Jacques

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Hm, ich weiß nicht genau, was Du meinst.

Kannst Du schonmal die beiden Lösungen der obigen Gleichung aufschreiben?

10.03.2009, 22:32

blubblub

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könntest du das vorrechnen? ich weiß nicht wie ich die wurzel von a+1/4 - a/6 ausrechne... wäre echt toll wenn du das grad vorrechnest, dann seh ich ja wie mans rechnet

10.03.2009, 22:43

Jacques

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Alles vorzurechnen ist sicherlich nicht Sinn der Sache, denn Du musst die Aufgabe ja am Ende können -- außerdem würde das gegen die Forenregeln verstoßen.

In der Wurzel steht:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{(a + 1)^2}{4} - \frac{a}{6}} \end{eqnarray*}$

Das kannst Du einfach so stehen lassen, man kann den Term nicht weiter vereinfachen. Du könntest höchstens prüfen, ob es bei einigen Werten für a eventuell gar keine x gibt mit f'(x) = 0. Dafür prüfst Du, wann die Diskriminante (Term unter der Wurzel) negativ wird:

$\begin{eqnarray*} \frac{(a + 1)^2}{4} - \frac{a}{6} < 0 \end{eqnarray*}$

Denn genau dann, wenn die Diskriminante negativ ist, hat die Gleichung f'(x) = 0 keine Lösungen für x. In diesen Fällen exisitiert also definitiv kein Hochpunkt.

Wenn ich richtig gerechnet habe, ist die Gleichung aber für alle Werte für a lösbar, d. h. es existieren immer zwei Lösungen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .

Welche sind das? Kannst Du das nochmal aufschreiben? Wie gesagt, es gibt erstmal gar nichts auszurechnen, man wendet nur die pq-Formel an.

10.03.2009, 22:47

blubblub

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ja und jetzt muss ich den gesamten x wert also beide in die 2. ableitung und gucken?

(sry ich mach jetz schon seit 8 h mathe, bin ziemlich am Ende, aber danke für die später Hilfe)

10.03.2009, 22:51

Jacques

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Zitat:

Original von blubblub

ja und jetzt muss ich den gesamten x wert also beide in die 2. ableitung und gucken

Ganz genau.

Nur zum Vergleich:

Ich habe die Lösungen

$\begin{eqnarray*} x_{1, 2} = \frac{a + 1}{2} \pm \sqrt{\frac{(a + 1)^2}{4} - \frac{a}{6}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt prüfst Du:

Gilt

$\begin{eqnarray*} f^{\prime\prime}(x_1) < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{\prime\prime}(x_2) < 0 \end{eqnarray*}$

?

Wenn das der Fall ist, dann sind die Punkte

$\begin{eqnarray*} P(x_1, f(x_1)), Q(x_2, f(x_2)) \end{eqnarray*}$

Hochpunkte des Graphen. Weil die Hochpunkte über der x-Achse liegen sollen, musst Du am Ende noch die folgenden Ungleichungen nach a auflösen:

$\begin{eqnarray*} f(x_1) > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_2) > 0 \end{eqnarray*}$

(wobei ich, wie gesagt, die Annahme gemacht habe, dass die zweite Ableitung von x1 und x2 tatsächlich negativ ist)

10.03.2009, 22:54

blubblub

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vom Prinzip verstehe ich es, aber hab' kein plan wie ich das nun hinschreibe...

10.03.2009, 22:58

Jacques

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Wie weit bist Du bisher gekommen? Kannst Du Dein letztes Zwischenergebnis aufschreiben?

10.03.2009, 23:03

blubblub

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a+1 +( a+1)^2 / 4- a/6 - (6a)^2 / 12^2 > 0

was fürne kranke aufgabe issn das, soll ich da jetzt solange rumspielen bis ich sehe was a ist oder ausprobieren, i-wo versteh ich s net

10.03.2009, 23:12

Jacques

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Hm, die Rechnung ist mir nicht ganz klar. Die Lösungen der Gleichung

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) = 0 \end{eqnarray*}$

waren

$\begin{eqnarray*} x_{1, 2} = \frac{a + 1}{2} \pm \sqrt{\frac{(a + 1)^2}{4} - \frac{a}{6}} \end{eqnarray*}$

Das sind die „potentiellen Hochpunkt-Stellen“, denn sie erfüllen das notwendige Kriterium für Extrempunkte.

Dass f'(x1) und f'(x2) den Wert 0 haben, garantiert aber noch nicht, dass x1 und x2 auch tatsächlich Hochpunkt-Stellen sind. Sondern man muss noch prüfen, ob auch ein hinreichendes Kriterium für Hochpunkte erfüllt ist, etwa dass die zweite Ableitung negativ (!) ist.

Man prüft also, welche der beiden folgenden Ungleichungen erfüllt ist:

$\begin{eqnarray*} f^{\prime\prime}(x_1) < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{\prime\prime}(x_2) < 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht vertan habe, gilt nur die zweite, d. h., der einzige Hochpunkt der Funktion ist

$\begin{eqnarray*} P(x_2, f(x_2)) \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist, wie oben gesagt, die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} f(x_2) > 0 \end{eqnarray*}$

nach a aufzulösen, denn gesucht sind ja die Werte für a, bei denen der Hochpunkt oberhalb der x-Achse liegt.

Ich hoffe, Dir ist das Prinzip klar geworden. Ich muss leider offline gehen, aber hier findet sich bestimmt noch jemand, der im Thread weitermacht.

CU Wink

Wink

11.03.2009, 15:34

blubblub

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hab jetzt für a<=-0,75 <-Hochpunkt

erst 1. ableitung dann x1 x2 berechnet, dann die in die 2 ableitung um zu gucken was hochpunkt ist hab dann 0,875 und 0.125 raus für x1/2

is das richtig?

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