zyklische Gruppe

11.03.2009, 17:55	agem	Auf diesen Beitrag antworten »
zyklische Gruppe Hallo, irgendwie stehe ich auf dem Schlauch: Sei G eine auflösbare Gruppe, $\begin{eqnarray} H \leq G \end{eqnarray}$ und (p-1) quadratfrei für eine Primzahl p. Weshalb ist H zyklisch, falls die Ordnung von H ein Teiler von (p-1) ist?
11.03.2009, 20:48	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zyklische Gruppe Hallo agem, Wieso sollte sowas gelten? Und wozu ist hier überhaupt das $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ da? Dass p eine Primzahl sein muss, ist doch ebenfalls irrelevant. Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray} G=H=\Sigma_3 \end{eqnarray}$ 6 teilt die Ordnung von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ist nicht zyklisch (nichtmal abelsch). Was man zeigen kann: $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ abelsch und $\begin{eqnarray} \|H\| \end{eqnarray}$ quadratfrei => $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ zyklisch. Gruß, Reksilat
12.03.2009, 00:46	agem	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich sehe gerade - ich habe überlesen, dass H die Fitting-Gruppe von G ist (komisch, dass sie dann nicht F oder so heißt). Dann müsste es doch klappen, oder: Die Fitting-Gruppe ist nilpotent, also alle ihre Sylowgruppen normal. Wegen der Quadratfreiheit sind sie auch zyklisch von Primzahlordnung, und deshalb die Ordnungen zweier Elemente aus verschiedenen Sylowgruppen teilerfremd. Damit ist H abelsch. (Das sind viele kleine Teilaufgaben - die überflüssigen Informationen braucht man für die anderen Teile - habe sie nur zur Sicherheit mal mit angegeben.)
12.03.2009, 00:52	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Fittinguntergruppe wird normalerweise mit $\begin{eqnarray} F(G) \end{eqnarray}$ bezeichnet. Egal, scheint ja jetzt alles klar zu sein oder gibt's noch Fragen? Gruß, Reksilat.
12.03.2009, 01:02	agem	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, wenn das stimmt was ich geschrieben habe ist es soweit klar. Wir hatten in der VL leider keine Nilpotenz,... behandelt, daher kenne ich die Bezeichnungen nicht.

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