Gültigkeit der Summenformel

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11.03.2009, 21:17	peach1	Auf diesen Beitrag antworten »
Gültigkeit der Summenformel Beweisen Sie die Gültigkeit der Summenformel: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n~(-1)^k k^2 = 1 + (-1)^n (n(n+1)/2) \end{eqnarray}$ mittels vollständiger Induktion. In der Uni haben wir ähnliche Aufgaben folgendermaßen angefangen: =1 + (-1)^n (n(n+1)/2) * (-1)^(n+1) * (n+1)^2 Das ganze muss ich dann soweit verkürzen, dass als Lösung = 1 + (-1)^n+1 * (n+1)(n+2)/2 rauskommt. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen. Danke.
11.03.2009, 21:18	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du dir mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion noch nicht ganz sicher bist, gehe am Besten streng nach Vorschrift vor. Also: Zuerst Induktionsanfang, dann Aufstellen der Induktionsvoraussetzung und dann den Induktionsschritt, der dir die Behauptung beweist. Den Induktionsanfang hast du etwa vollkommen vergessen.
11.03.2009, 21:22	peach1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gültigkeit der Summenformel Ja, da hast du recht, den habe ich weggelassen, weil ich sicher bin, das der Anfang so stimmt. Die Lösung die ich aufgeschrieben habe muss da auch rauskommen, ich weiß nur nicht, wie ich das so vereinfache um auf die Lösung zu kommen.
11.03.2009, 21:28	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe dir die Aufgabenstellung nochmal schön hin. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n(-1)^k~k^2=1+(-1)^n\cdot\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ Induktionsanfang ist trivial, Induktionsvoraussetzung überspringe ich jetzt auch da das nur ein rein formaler Schritt ist. Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^{n+1}(-1)^k~k^2 = \sum_{k=2}^n(-1)^k~k^2 ~ + ~ (-1)^{n+1}~(n+1)^2~\stackrel{\text{IV}}{=}1+(-1)^n\cdot\frac{n(n+1)}{2}+(-1)^{n+1}~(n+1)^2 \end{eqnarray}$ Jetzt musst du die rechte Seite so umformen, dass $\begin{eqnarray} 1+(-1)^{n+1}\cdot\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray}$ rauskommt. Alles klar?
11.03.2009, 21:32	peach1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gültigkeit der Summenformel Danke für das schön schreiben ;-) Soweit war ich ja auch und das verstehe ich alles, aber ich habe keine Ahnung wie ich die rechte Seite so umforme, damit ich auf die letzte zeile komme.
11.03.2009, 21:34	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Tipp: Lasse die " 1 +" erstmal außen vor und kümmere dich um den Rest. Versuche, beide Summanden dahinter auf den selben Nenner zu bringen.
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11.03.2009, 21:39	peach1	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, um dashintere auf denselben Nenner zu bringen, muss ich ja im Zähler mit 2 erweitern und den Nenner ebenfalls. Wäre dann: = 1 + (-1)^n * n(n+1)/2 + (-1)^(n+1) * (2(n+1)^2/2) Richtig? Das hilf mir aber ehrlich gesagt nicht wirklich weiter...
11.03.2009, 21:40	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
So jetzt klammere erstmal $\begin{eqnarray} (-1)^n \end{eqnarray}$ aus und multipliziere $\begin{eqnarray} n(n+1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (n+1)^2 \end{eqnarray}$ aus. Dann schreibe beides zusammen (achte auf das Minus, das entsteht, wenn du $\begin{eqnarray} (-1)^n \end{eqnarray}$ ausklammerst) in den Zähler eines Bruches mit Nenner 2.
11.03.2009, 21:48	peach1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erst einmal für deine Mühe. Ich habe jetzt folgendes gemacht: = 1 + (-1)^n * ((2n^2 + 3n + 1)/2) aber was mache ich mit der (-1)^(n+1) ?
11.03.2009, 21:54	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
hm du musst da irgendwas falsch gemacht haben: $\begin{eqnarray} 1+(-1)^n\frac{n(n+1)}{2}+(-1)^{n+1}(n+1)^2 =\\ =1+ (-1)(-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2}+(-1)^{n+1}\frac{2n^2+4n+2}{2}=\\ =1+(-1)^{n+1}\left(\frac{-n^2-n~~+2n^2+4n+2}{2}\right) \end{eqnarray}$ kommst du jetzt weiter?
11.03.2009, 21:59	peach1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, na klar jetzt weiß auch ich endlich weiter ;-). Mir war nicht klar, dass (-1)^n = (-1)(-1)^(n+1) ist. = 1+ (-1)^(n+1) * ((n^2 + 3n + 2)/2) = 1 + (-1)^(n+1) * ((n+1)(n+2))/2
11.03.2009, 22:01	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
korrekt. $\begin{eqnarray} (-1)(-1)^{n+1} = (-1)^{n+2} = (-1)^n\cdot(-1)^2=(-1)^n\cdot 1 \end{eqnarray}$
11.03.2009, 22:04	peach1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank, du hast mir wirklich geholfen ;-)...
11.03.2009, 22:08	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
gern geschehen

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