Extremwertaufgabe mit 2 Variablen

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Eschek Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe mit 2 Variablen
Hallo hab folgendes Problem, hab die funktion f : R² --> R mit
f(x,y) = (x+y)³-12xy und soll die kritischen Punkte und danach lok.Max., lok.Min. und Sattelpkt. bestimmen.

Mein erster Schritt ist, die Funktion abzuleiten

df/dx = 3*(x+y)² - 12 y

df/dx = 0
--> 3*(x+y)² - 12 y = 0
--> Damit diese Gleichung Null wird muss x und y = 0 sein oder x und y = 1.
Gibt es noch weitere Kritische Punkte oder ist mein Vorgehen falsch?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Notwendige Bedingung für einen Extremwert ist, dass alle partiellen Ableitungen ( ) gleich Null sind. Daraus resultiert ein nichtlineares Gleichungssystem in x, y, welches nach x, y aufzulösen ist.

mY+
Eschek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage die sich bei mir stellt ist, wenn ich jetzt df/dx =0 setzte, bekomm ich zwei werte raus, bsp a und b. Muss ich jetzt a und b in df/dy einsetzten um das zugehörige c und d zu bekommen?
Somit wären dann meine kritischen Punkte z.B. (a/c) und (b/d)

Oder mach ich df/dx = 0 -- > a und b
Und df/dy = 0 ---> e und f

Somit sind die kritischen Punkte bei (a/e),(a/f),(b/e) und (b/f).
Das verstehe ich an der Berechnung der lokalen Extrams nicht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du sollst aus den zwei Bedingungen auch zwei allgemeine Gleichungen in x, y erstellen, daraus wird dann ein Gleichungssystem.
Warum wilst du das nicht einmal so ansetzen, wie dir geraten?




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Daraus ergeben sich nun eindeutig zwei mögliche Zahlenpaare, die dann mit (x1; y1), (x2; y2) bezeichnet werden können (oder auch mit a, b .... )

mY+
Eschek Auf diesen Beitrag antworten »

Sind die kritischen Punkte bei (1/1),(0/0) und (2/2)?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenfrage: Was macht (2;2)? Wie hast du das gerechnet? Oder nur geraten?

mY+
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben
f(x,y)=(x+y)^3-12xy

Gesucht:
Maxima, Minima, Sattelpunkte

Lösung:

Notwendige Bedingung für Extrema und Sattel ist das Verschwinden der 1.Ableitungen, also

df/dx=3(x+y)^2-12y=0_____(1)
df/dy=3(x+y)^2-12x=0_____(2)

Das ist ein Gleichungssystem für x,y. Addition bzw. Subtraktion beider Gleichungen führt auf zwei neue Gleichungen

6(x+y)^2-12(x+y)=0_____(3)
12(x-y)=0__________(4)

Umformen von (3) ergibt die Gleichung 6(x+y)*[(x+y)-2]=0. Setzt man hier x=y ein, was aus (4) folgt, erhält man 12x*[2x-2]=0. Daraus folgen die kritischen Punkte

(0;0) und (1;1)_____(5)

Nun muss man alle 2.Ableitungen berechnen.

d^2f/dx/dx=6(x+y)
d^2f/dx/dy=6(x+y)-12
d^2f/dy/dx=6(x+y)-12
d^2f/dy/dy=6(x+y)

Diese zweiten Ableitungen muss man als Matrixelemente 2x2-Matrix auffassen (allgemein einer nxn-Matrix). Ich schreibe diese Matrix mal wie folgt:

|__6(x+y)___6(x+y)-12|
|6(x+y)-12___6(x+y)__|

In diese 2x2-Matrtix setzt man nun die beiden kritischen Punkte aus (5) ein und erhält zwei Zahlenmatrizen.

Der Punkt (0;0) ergibt die Matrix

|0; -12|
|-12; 0|

Der Punkt (1;1) ergibt die Matrix

|12; 0|
|0; 12|

In beliebiger Dimension gilt folgendes Kriterium für Maximima/Minima/Sattel:

Ein Maximum liegt vor, wenn alle Eigenwerte der Matrix negativ sind
Ein Minimum liegt vor, wenn alle Eigenwerte der Matrix positiv sind
Ein Sattel liegt bei Mischungen von positiv und negativ Eigenwerten vor.

Wir berechnen also die Eigenwerte der beiden obigen Matrizen.

Die Eigenwerte der Matrix für den Punkt (0;0) lauten offenbar -12 und +12. Damit liegt dort ein Sattelpunkt vor.

Die Eigenwerte der Matrix für den Punkt (1;1) lauten offenbar +12 und +12. Damit ist dies ein Minimum vor.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Ehos

Willkommen

Sehr schön, aber bitte veröffentliche künftig keine Komplettlösungen!!
Hast du noch nicht das Prinzip hier gelesen?

mY+
Eschek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dank dir,

in Aufgabenteil b is jetzt noch zusätzlich gefragt, wie die Extrema aussehen, wenn die Nebenbedingung x²+y²=2 gegeben ist.

Ich hab folgenden Ansatz:

f(x,y) = (x+y)³ -12xy
g(x,y)= x²+y²=2

--> f(x,y,a) = f(x,y) + a*g(x,y)
--> f(x,y,a) = (x+y)³ - 12xy + a(x²+y²-2)

(df/dx)= 3*(x+y)-12y+2ax (I)
(df/dy)= 3*(x+y)-12x+2ay (II)
(df/da)= x²+y²-2 (III)

Bed. für Extrema df = 0

--> 3*(x+y)-12y+2ax=0 (I)
--> 3*(x+y)-12x+2ay=0 (II)
--> x²+y²-2=0 (III)

Jetzt hab ich meine (I) und (II) addiert bzw. subtrahiert und komme auf

(IV) ---> 12(y+x)+2a(x-y)=0
(V) ----> 6(x+y)-12(x+y)+2a(x+y)=0

Wie komme ich jetzt wieder meine kritischen Punkte? Ich hab doch jetzt 3 Gleichungen und 3 Unbekannte das dürfte doch kein Problem sein, aber ich komm einfach nicht zurecht damit unglücklich
Eschek Auf diesen Beitrag antworten »

für die (V) - Gleichung bekomm ich doch a = 3
wenn ich das jetzt in (IV) einsetzte komm ich auf y=-3x
wenn ich das jetzt in (III) einsetzte komm auf x = plusminus sqrt(1/5).

jetzt sind doch meine kritischen Punkte bei
(plusminus sqrt(1/5) / plusminus 3*sqrt(1/5) / 3)

also hab ich jetzt 4 Kritische Punkte zu untersuchen`?

(sqrt(1/5) / 3*sqrt(1/5) / 3)
(- sqrt(1/5) / 3*sqrt(1/5) / 3)
(sqrt(1/5) / - 3*sqrt(1/5) / 3)
(- sqrt(1/5) / - 3*sqrt(1/5) / 3)

Wäre das Korrekt?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig sind Deine Gleichungen

3*(x+y)-12y+2ax=0_____(1)
3*(x+y)-12x+2ay=0_____(2)
x²+y²-2=0_____________(3)

Addition bzw. Subtraktion von (1) und (2) ergibt

(x+y)*(2a-6)=0______(4)
(x-y)*(2a+12)=0______(5)

Aus (4) folgt a=3, womit aus (5) folgt x=y, so dass mit (3) x=y=1. Damit ist(x;y;a)=(1;1;3).

Aus (5) folgt a=-6, womit aus (4) folgt x=-y, so dass mit (3) x=1, y=-1 oder umgekehrt x=-1, y=1. Damit haben wir zwei weitere kritische Punkte
(a;x;y)=(1;-1,-6)
(x;y;a)=(-1;1;-6)

Der Rest ist wieder Standard!
Eschek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube deine (IV) Gleichung stimmt nicht die müsste doch lauten:

(x+y)(2a+6-12)

weil es muss ja raus kommen 6(x+y)-12(x+y)+2a(x+y).

Gibt es da eigentlich irgentein Trick oder muss man das einfach nur üben, dass aus

6(x+y)-12y-12x+2xa+2ya auf (x+y)(2a+6-12) zukommen?
Weil danach kann ich als weiterrechnen...
Eschek Auf diesen Beitrag antworten »

So, hab jetzt mit den genannten Gleichungen

x²+y²-2=0_____________(3)
(x+y)*(2a+6-12)=0______(4)
(x-y)*(2a+12)=0______(5)

Die drei kritischen Punkte von dir

(a,x,y) --> (-6,1,-1), (-6,-1,1),(3,1,1) und zusätzlich noch (3,-1,-1) weil ja aus (IV) folgt a=3 aus (V) folgt x=y und aus (III) folgt x = plusminus 1.

Die Frage die sich mir jetzt noch stellt ist.

Sieht eine Hesse-Matrix jetzt so aus Hf = (d²f/dx²,d²f/dxdy;d²f/dxdy,d²f/dy²)
oder da ich jetzt drei parameter hab mit quasi 9 Ableitungen? Aber das würde mir einbisschen spanisch vorkommen :-(
Eschek Auf diesen Beitrag antworten »

Hab da noch eine Klausuraufgabe, wollt nur wissen ob ich das richtig gerechnet habe.

lokale Extrema und Sattelpunkte für f:R²-->R f(x,y)= 2x^4 + y^4-x²-2y²

df/dx = 8x³-2x --> x1 = 0 , x2 = 1/2 und x3 = -1/2

df/dy = 4y³-4y --> y1= 0 , y2=1 und y3=-1

kritische Punkte bei: (0/1),(0/-1),(0/0),(1/2/1),(1/2/-1),(1/2/0),(-1/2/1),(-1/2/-1),(-1/2/),
Hf = ( 24x²-2,0;0,12y²-4)

(0/1), Spkt.
(0/-1),Spkt
(0/0),lok Min
(1/2/1),lok Min
(1/2/-1),lok Min
(1/2/0),Spkt
(-1/2/1),lok Min
(-1/2/-1),lok Min
(-1/2/),Spkt
Eschek Auf diesen Beitrag antworten »

-.-
Eschek Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß jemand was darüber?
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