Würfel Aufgabe - Bitte um Kontrolle

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fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »
Würfel Aufgabe - Bitte um Kontrolle
Hallo Leute, ich bin recht neu in dem Gebiet der Wahrscheinlichkeit, und möchte in nächster Zeit dies intensiv üben.
Wenn ihr mir dabei helfen könntet wäre das super!

Wenn ihr euch fragt warum die nachfolgende Aufgabe manchmal nicht ganz deutsch klingt, das ist dies ganz berechtigt, denn diese Aufgabe wurde übersetzt. (lerne das Thema auf einer anderen Sprache)
Es kann sein das einige Begriffe etwas anders heissen, oder andere Abkürzungen besitzen (wenn ihr nicht wisst was das jeweilige heisst einfach fragen, denn mir fällt es leider sonst nicht auf).


Ich habe unter jeder Teilaufgabe meinen Lösungsansatz geschildert, und bitte euch um Kontrolle, und evtl. einen Vorschlag um es besser/einfacher zu machen.

Zitat:
Aufgabe 1:

Man betrachte das folgende Zufallsexperiment :
"Wurf eines Würfels mit 6 Seiten".
Man betrachte das Ereigniss "Bekomme ein vielfaches von 3".
Zitat:
1. Schildere den Ergebnisraum dieses Experimentes und das Ereignis S das Teil von ist.








Zitat:
2. Berechne die Wahrscheinlichkeit , das möglich sei.
Welche Hypotese haben wir benutzt?


Methode A)

Dies ist eine Bernoulli-Verteilung (=Null-Eins-Verteilung) deshalb gibt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses k:




Gehe ich davon richtig aus das k, die Anzahl der Ergebnisse der Teilmenge S representiert? also in dem Fall: 3 und 6 --> 2 Ergebnisse für Erfolg (=cardinal)

Anwenden der Formel:



Woher bekomme ich nun mein klein p ?

Methode B)
Da ich mit der Formel nicht weitergekommen bin, hab ich mir mal etwas gedanken gemacht. Ich habe doch hier ein Zufallsvariable die diskret ist oder?
Deshalb hab ich gedacht ich mach einfach:





Welche Methode (A oder B ) ist nun richtig? kann ich beide benutzen? Wie komme ich auf klein p ?
Zitat:
3. Beim probieren S zu realisieren, hat man 2 mögliche Ausgänge:

"Bekommt ein vielfaches von 3" (erfolgreich)

oder

"Bekommt kein vielfaches von 3" (nicht erfolgreich)


Welche Wahrscheinlichkeit hat E ?

Weil die Reduzierungsfunktion (Empirische Verteilungsfunktion) ist definiert über
Und da dies ein Versuch ist der nur 2 Ausgänge haben kann, erfolg oder misserfolg. Ist der P(E) das komplementär von P(S).
Mit anderen Worten

Rechnung:


Zitat:

4. Sei X eine reele Zufallsvariable definiert über X = 1, wenn man ein erfolg bekommen hat. Anderenfals X=0.

Beschreibe das Gesetz von X
Ich hab keine Ahnung was ich hier tun soll !


Zitat:
5.
Zeichnen Sie den Graph von und berechnen Sie E(X) und V(X)






Das weis ich über die aber wie kann ich diese zeichen? .... kann ich vllt. irgendwie die Funktion rausbekommen und diese dann integrieren?? Oder wie macht man das?

//edit
Ahh.. ich hab was gefunden.. F_x ist die Summer der Einzelwahrscheinlichkeiten (bei einem Diskreten Versuch):
also gilt:


Dann wäre das ja nur einen einzige gerade oder?

E(X) ist der Erwartungswert:
Bei diskreter Zufallsvariable gilt:



V(X) ist Varianz und gilt bei diskreten sowohl als auch bei stetigen Zufallsvariablen so:



Da ich nicht genau weis was sich nun hinter klein p verbirgt kann ich es numerisch noch nicht berechnen.
Ich werde die aber nachholen, wenn ich weis was es ist.
Zitat:
6.
Geben Sie andere Beispiele von Zufallsexperimenten/Zufallsphenonome an welche den Rahmen des Bernouilli gesetztes entsprechen.
Quelle: Wikipedia
  • Werfen einer Münze (Wappen p = 1 / 2, Zahl q = 1 / 2)
  • Werfen eines Würfels, wobei nur eine „6“ als Erfolg gewertet wird: p = 1 / 6, q = 5 / 6.
  • Qualitätsprüfung (einwandfrei, nicht einwandfrei)
  • Anlagenprüfung (funktioniert, funktioniert nicht)
Gibt es noch weitere? Ware ein Blitzschlag solch ein Versuch? --> Biltzt/ kein Blitz



Ich bedanke mich für eure Hilfe, und möchte mich für manch so wahrscheinlich dumme Frage entschuldigen smile

schönen Abend noch

gruß
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Pervers. Ich glaube so gut hat noch niemanden mit Kanonen die armen Spatzen abgeknallt Augenzwinkern

Aufgabe 1)
passt


Aufgabe 2)
Ich denke da liegt ein Übersetzungsfehler vor, denn dass "Hypothese" da hinein passt, bezweifle ich.

A und B führen zum Ziel.
Für A (Binomialverteilung) ist, wie du schon richtig sagtest:
n=1, k=1. Und p ist die "Trefferwahrscheinlichkeit". Das bedeutet P("Augenzahl ist durch drei Teilbar"). Dann gilt:


Weil eine Wahrscheinlichkeit mit wenigen Wiederholungen (leicht abzuzählen) vorliegt, nimmt man lieber die Laplace-Wahrscheinlichkeit also:



Aufgabe 3)
Ganz ohne Betrachtung der Verteilungsfunktion kann man mit gesundem Menschenverstand feststellen: "Entweder die Zahl ist durch 3 teilbar, oder sie ist es nicht". Eines der beiden Ereignisse S oder E muss eintreten, also ist . Ah. Das hast du ja dann auch gemacht. Sehr gut Augenzwinkern


Aufgabe 4)
Zufallsvariablen haben einen Wert, hier X und eine zugehörige Wahrscheinlichkeit, hier P(X). Man stellt sie meistens in Tabellen dar. Die Tabelle hat zwei Zeilen. Zeile1 (hier X) zeigt den Wert der Variablen und Zeile2 (hier P(X)) ihre Wahrscheinlichkeit.
Es gibt (anders als bei den gängigen Funktionen der Analysis) bei diskreten Zufallsvariablen häufig keinen allgemeinen Zusammenhang (wie z.B. ), sodass man jeden Wert einzeln definieren muss.


Aufgabe 5)
Im Grunde sind das nur zwei Punkte... Deine x-Achse zeigt die möglichen Werte für die Zufallsvariable X. Wie viele sind das denn?
Und jetzt musst du zu jedem dieser eine Aussage treffen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Wert oder ein kleinerer Angenommen wird. Beim größten muss schließlich wieder 1 herauskommen.

Deine Formel für E(X) und Var(X) stimmt soweit. Wobei man sich für so wenige Werte das Summenzeichen sicher sparen könnte Augenzwinkern


Aufgabe 6)
Ja, "Blitz" oder "kein Blitz" sind genau zwei mögliche Ausgänge des Experiments. Es gilt wieder P("Blitzt") + P("kein Blitz) = 1.

Wäre dem nicht so, gäbe es ein dritten Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit größer 0 ist und man hätte kein Bernoulli-Experiment.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Würfel Aufgabe - Bitte um Kontrolle

Zitat:
Original von fraggelfragger
Gehe ich davon richtig aus das k, die Anzahl der Ergebnisse der Teilmenge S representiert? also in dem Fall: 3 und 6 --> 2 Ergebnisse für Erfolg (=cardinal)

Anwenden der Formel:



Woher bekomme ich nun mein klein p ?

Nein, das ist vollkommen falsch. Die Bernoulli-Verteilung hat mit dieser Aufgabe nichts zu tun und du hast sie vollkommen falsch interpretiert. Eine Beispielaufgabe, bei der man die Bernoulli-Verteilung bräuchte, wäre z.B.:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei elfmaligem Würfeln sieben Mal ein Vielfaches von Drei gewürfelt wird?

ist die Anzahl der Ausführungen des Einzelwurfs, also Elf. ist die Anzahl der gewünschten Erfolge und ist hier dann die Wahrscheinlichkeit des Erfolges bei einem Einzelwurf, also . Das ergäbe die gesuchte Wahrscheinlichkeit

.
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zellerli

Aufgabe 2)
Ich denke da liegt ein Übersetzungsfehler vor, denn dass "Hypothese" da hinein passt, bezweifle ich.

Jetzt hab ich nochmal nachgeschlagen, und so könnte der Satz heissen:

Zitat:
2. Berechne die Wahrscheinlichkeit , so das eintritt/realisierbar ist/möglich ist. Welche(s) Annahme/Vorraussetzung/Denkmodell haben wir benutzt?


Gibt das nun mehr Sinn? Ist damit die Laplace-Wahrscheinlichkeit ?!

Zitat:
Original von Zellerli
Aufgabe 3)
..., also ist . Ah. Das hast du ja dann auch gemacht. Sehr gut Augenzwinkern


Ah.., so schreibt man mit Latex, das "muss gleich 1 sein", hab gesucht gehabt aber leider nicht gefunden.

Zitat:
Original von Zellerli
Aufgabe 4)
Zufallsvariablen haben einen Wert, hier X und eine zugehörige Wahrscheinlichkeit, hier P(X). Man stellt sie meistens in Tabellen dar. ........


Okay dann mach ich mal die Tabelle: ( Ich hab versucht mit Latex zu machen, leider gescheitert)

X 1 2 3 4 5 6
P(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6


Zitat:
Original von Zellerli
Aufgabe 5)
Im Grunde sind das nur zwei Punkte... Deine x-Achse zeigt die möglichen Werte für die Zufallsvariable X. Wie viele sind das denn?
Und jetzt musst du zu jedem dieser eine Aussage treffen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Wert oder ein kleinerer Angenommen wird. Beim größten muss schließlich wieder 1 herauskommen.


Siehe Anhang, ist das richtig das eine Treppenfunktion rauskommt? ( die Treppenstufen sollen alle gleich hoch sein nämlich 1/6 (ist bischen schwer mit paint zu zeichnen) )

Mir ist aufgefallen das man die Betrachung hier ja auch mit hilfe der Wahrscheinlichkeit des Erfolges und der Wahrscheinlichkeit des Misserfolgs machen könnte. Was ist denn hier nun richtig?
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso hat deine Treppe 6 Stufen?

Es geht doch nur um zwei Werte für X. 0 und 1, die den Zahlen 1,2,4,5 bzw. 3,6 zugeordnet werden und die entsprechende Wahrscheinlichkeit haben.
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zellerli
Wieso hat deine Treppe 6 Stufen?

Es geht doch nur um zwei Werte für X. 0 und 1, die den Zahlen 1,2,4,5 bzw. 3,6 zugeordnet werden und die entsprechende Wahrscheinlichkeit haben.


Ja ich war mir jetzt nicht sicher welches der beiden Diagramme die ich angehängt habe richtig ist. Also geht es nur darum zu betrachten erfolg/misserfolg? Bei der Reduzierungsfunktion (Empirische Verteilungsfunktion).
 
 
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es geht nur um das Ereignis, was zu der Zufallsvariablen gehört (durch 3 teilbar oder nicht).

Ah, wieder war ich blind. Dein zweiter Graph sieht ja schon besser aus Augenzwinkern
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann müsste ich nun nur noch E(X) und V(X) berechnen.
Formeln hab ich da ja schon stehen.

Zahlenmäßige Ergebnisse liefere ich heute abend.


//edit

Wie mach ich das denn nun? Ich betrachte doch bei E(X) und V(X) wieder nur Erfolg/Misserfolg. Lieg ich da richtig?

(Wahscheinlichkeit des Misserfolges -> 1,2,4,5)
(Wahrscheinlichkeit des Erfolges -> 3 oder 6 )

Erwartungswert:


Ist der Erwartungswert so richtig?

Mittelwert:

Varianz(=Streuung):


Ist 1/4 richtig? Oder betrachte ich bei den rechnungen jeweils nur die gewollte Wahrscheinlichkeit? wenn ja wie macht man das dann mit der Rechnung?
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Passt soweit von der Theorie.

Nur der Mittelwert gehört hier nicht her. In der Varianz wird der Erwartungswert verwendet, wo bei dir steht, gehört ein hin.
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

okay dann muss es heissen:



Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Den dritten Term verstehe ich nicht. Wieso setzt ziehst du von einem Wert eine Wahrscheinlichkeit ab?

Und deshalb verstehe ich die komplette untere Zeile nicht. Der letzte Term in der oberen Zeile ist allerdings richtig.
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fraggelfragger
okay dann muss es heissen:





sorry ich hatte den Index vergessen.

so müsste es nun stimmen.

Warum p_1 eingesetzt wird:
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooo du nennst natürlich direkt , weil die Werte ja auch identisch sind und du es bis zum Ende allgemein hälst (was übrigens sehr lobenswert ist Freude ).

Ja, dann ist das absolut richtig.
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