Ganzrationale Funkion

12.03.2009, 13:37

.:-Adi-:.

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Ganzrationale Funkion

Hallo Zusammen,

ich habe da eine Aufgabe, an der ich nicht weiterkomme.

Die Aufgaben stellung heißt:
Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet für < u < 4 K im Punkt A und die 1. Winkelhalbierende im Punkt B. Berechnen Sie u so, dass die Länge der Strecke AB maximal wird.

Des weiteren habe ich die Formel
$\begin{eqnarray*} f (x) = \frac {1}{4}(x^2-12) \end{eqnarray*}$

Die Steckengleichung ist
$\begin{eqnarray*} l(u) = g (u) - f (u) \end{eqnarray*}$

Also muss ich
$\begin{eqnarray*} x- \frac {1}{4}x(x^2-12) \end{eqnarray*}$

Also wäre dass mit u
$\begin{eqnarray*} l (u)= u- \frac {1}{4}u(u^2-12) \end{eqnarray*}$

Weiter komm ich nit...

12.03.2009, 13:52

mYthos

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Was macht das x bzw. u dort bei 1/4 ? Das gehört dort nicht hin.

$\begin{eqnarray*} l(u) = u - (\frac{u^2}{4} - 3) \end{eqnarray*}$

mY+

12.03.2009, 14:15

.:-Adi-:.

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ups... merci ;-)

Sollte
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {1}{4}x(x^2-12) \end{eqnarray*}$
heißen...

12.03.2009, 14:24

outSchool

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RE: Ganzrationale Funkion

Zitat:

Original von .:-Adi-:.
Also wäre dass mit u
$\begin{eqnarray*} l (u)= u- \frac {1}{4}u(u^2-12) \end{eqnarray*}$
Weiter komm ich nit...

Ja, mit der Berichtigung ist das richtig.
Wann wird nun l(u) maximal?

12.03.2009, 14:26

.:-Adi-:.

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wie meinst du das... maximal?

12.03.2009, 14:29

outSchool

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RE: Ganzrationale Funkion

Zitat:

Original von .:-Adi-:.
Die Aufgaben stellung heißt:
Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet für < u < 4 K im Punkt A und die 1. Winkelhalbierende im Punkt B. Berechnen Sie u so, dass die Länge der Strecke AB maximal wird.
...

Das ist doch die Aufgabe, oder?

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12.03.2009, 14:34

.:-Adi-:.

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ich hab trotzdem kein plan wie ich da vorgehen muss

12.03.2009, 14:45

outSchool

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Mit der 1.Ableitung findest du die Extremwerte.
Hab nochmal nachgerechnet. Bitte Extremwerte ausrechnen.

12.03.2009, 14:53

.:-Adi-:.

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Jap, hab alles geschrieben, so wie es auf dem AB steht.

1. Ableitung
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac {1}{4} x^2 - 3x \end{eqnarray*}$

2. Ableitung
$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac {3}{2} x \end{eqnarray*}$

12.03.2009, 14:55

.:-Adi-:.

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dann muss man
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Und das gibt dann
$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 > 0 = TP \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = -2 < 0 = HP \end{eqnarray*}$

12.03.2009, 15:00

.:-Adi-:.

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Dann in $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Dann ergibt
$\begin{eqnarray*} f(2) = -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-2) = 4 \end{eqnarray*}$

und nun?

12.03.2009, 15:00

outSchool

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Die Länge soll doch maximal werden.

$\begin{eqnarray*} l(u) = u - \frac{1}{4} u(u^2-12) = u - \frac{1}{4}u^3 + 3u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l'(u) = 4 - \frac{3}{4}u^2 \end{eqnarray*}$

12.03.2009, 15:03

.:-Adi-:.

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dann müsste die 2. Ableitung
$\begin{eqnarray*} l(u) = - \frac {3}{2}u \end{eqnarray*}$
sein.

Zitat:

Original von outSchool

$\begin{eqnarray*} l'(u) = 4 - \frac{3}{4}u^2 \end{eqnarray*}$

wie kommst du auf die $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ ?

12.03.2009, 15:08

outSchool

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Hier nochmal l(u) zusamengefasst.

$\begin{eqnarray*} l(u) = u - \frac{1}{4} u(u^2-12) = u - \frac{1}{4}u^3 + 3u = 4u - \frac{1}{4}u^3 \end{eqnarray*}$

12.03.2009, 15:10

.:-Adi-:.

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ok, merci.
Und wie muss ich jetzt weitermachen?

$\begin{eqnarray*} l'(u) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

12.03.2009, 15:11

outSchool

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Ja.

12.03.2009, 15:14

.:-Adi-:.

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$\begin{eqnarray*} l' (u) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4- \frac {3}{4} u^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_2 = -2 \end{eqnarray*}$

12.03.2009, 15:17

.:-Adi-:.

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$\begin{eqnarray*} u_2 = -2 \end{eqnarray*}$ fällt ja dann raus.. oder?

Weil die Randwerte sind 0 und 4

12.03.2009, 15:26

outSchool

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$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}u^2 = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^2 = \frac{16}{3} \end{eqnarray*}$

12.03.2009, 15:31

.:-Adi-:.

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sry, hab mich verrechnet..

Dann ist
$\begin{eqnarray*} u_1 = 2,31 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_2 = - 2,31 \end{eqnarray*}$

Muss ich dann $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ nichtmehr weiter berücksichtigen?, da die Randwerte 0 und 4 sind..

Also dann 2,31 in $\begin{eqnarray*} l(u) \end{eqnarray*}$ einsetzen?

12.03.2009, 15:34

outSchool

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Gesucht war nur u im Bereich 0 < u < 4, du bist fertig.

12.03.2009, 15:37

.:-Adi-:.

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Ja aber woher weiß ich,
ob es sich um ein relatives oder absolutes maximum handelt?

12.03.2009, 15:39

outSchool

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Ok, mit der 2. Ableitung kannst du das prüfen.

12.03.2009, 15:43

.:-Adi-:.

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$\begin{eqnarray*} l''(2,31) = -3,47 \end{eqnarray*}$

12.03.2009, 15:44

outSchool

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Was sagt dir das?

12.03.2009, 15:46

.:-Adi-:.

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keine Ahnung...

12.03.2009, 15:50

outSchool

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Hinreichende Bedingung für ein Maximum:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = 0 \text{ und } f''(x_0) < 0 \end{eqnarray*}$

12.03.2009, 15:53

.:-Adi-:.

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Ist die Bedingung immer gleich?
Und ist das eine Bedingung für ein relatives oder absolutes Maximum?

Also wenn ich noch 2,31 in $\begin{eqnarray*} l (u) \end{eqnarray*}$ einsetzen würde, und das ganze mit den Randwerten vergleichen würde, dann hätte ich den Flächeninhalt?

Also
$\begin{eqnarray*} l(2,31) = 6,16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l (0) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l(4) = 0 \end{eqnarray*}$

12.03.2009, 15:59

outSchool

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Nochmal die Längenfunktion l(u):

$\begin{eqnarray*} l(2,31) = 6,16 \end{eqnarray*}$

gibt dir die Länge zwischen Punkt A und B aus der Aufgabenstellung an.
Gesucht war der Wert für u, bei dem die Länge zwischen A und B maximal ist. also u = 2,31.

Den Flächeninhalt unter der Kurve l(u) berechnest du mit dem Integral. Aber wozu brauchst du den Flächeninhalt?

12.03.2009, 16:11

.:-Adi-:.

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Nur soo, wollt einfach nur wissen, wie man es weiterrechnen würde..

Merci smile

smile

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