Hilfe beim Beweisen

12.03.2009, 14:03

Gast120309

Hilfe beim Beweisen

Hallo,

ich bräuchte Hilfe für folgende Beweise:

1.) Zeige: Für eine beliebige Menge M gilt:

$\begin{eqnarray*} \emptyset \times M = \emptyset \end{eqnarray*}$

Man muss beide Richtungen beweisen, also:

$\begin{eqnarray*} (a,b) \in \emptyset \times M \Rightarrow (a,b) \in \emptyset\\(a,b) \in \emptyset \Rightarrow (a,b) \in \emptyset \times M \end{eqnarray*}$

Für den erste Richtung kann man doch folgern, daß $\begin{eqnarray*} a \in \emptyset \end{eqnarray*}$ nicht gelten kann und da die Implikation aus etwas falschem wiederum wahr ist, gilt die "Hinrichtung". Analog für den zweiten Teil, da die leere Menge keine Elemente enthält ist die Aussage $\begin{eqnarray*} (a,b) \in \emptyset \end{eqnarray*}$ falsch und die gesamte zweite Aussage ist wahr.

Habe ich da richtig gedacht oder mir das zu einfach gemacht? Und kann man die Überlegungen so als Beweis akzeptieren?

2.) Es ist zu zeigen, daß gilt ( $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ist die symmetrische Differenz zweier Mengen und ich gehe davon aus, daß A und B nicht leer sind):

$\begin{eqnarray*} A \Delta B = \emptyset \Leftrightarrow A = B \end{eqnarray*}$

Da habe ich für die Richtung $\begin{eqnarray*} A = B \Rightarrow A \Delta B = \emptyset \end{eqnarray*}$ folgende Überlegung:
$\begin{eqnarray*} A = B \Rightarrow A \Delta B = A \Delta A = A \cup A \setminus A \cap A = A \setminus A = \emptyset \end{eqnarray*}$
Mit der anderen Richtung hapert es: $\begin{eqnarray*} A \Delta B = \emptyset \Rightarrow A = B \end{eqnarray*}$
Da habe ich halt mit Beweis durch Kontraposition überlegt. Angenommen A ist ungleich B, dann gilt im extremsten Fall A und B sind disjunkt, dann kann $\begin{eqnarray*} A \Delta B \end{eqnarray*}$ ja nur die Vereinigung sein und damit ist sie nicht leer. Wenn A und B aber mind. ein gemeinsames Element haben und da sie nicht gleich sind enthält die Vereinigung in der symmetrischen Differenz genau die Element, die nicht im Schnitt der symmetrischen Differenz sind. Wie schreibe ich das aber gescheit auf?
Wenn ich $\begin{eqnarray*} A \neq B \Rightarrow A \Delta B \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ aufschreibe, dann "fehlen" (nach Bauchgefühl) mir irgendwie Zwischenschritte.

Vielen Dank schonmal
Hilfesuchender

12.03.2009, 19:41

Mathespezialschüler

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1. ist korrekt.

Zitat:

Original von Gast120309
$\begin{eqnarray*} A = B \Rightarrow A \Delta B = A \Delta A = A \cup A \setminus A \cap A = A \setminus A = \emptyset \end{eqnarray*}$

Klammern setzen! $\begin{eqnarray*} (A\cup A)\setminus (A\cap A) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Gast120309
Wenn A und B aber mind. ein gemeinsames Element haben und da sie nicht gleich sind enthält die Vereinigung in der symmetrischen Differenz genau die Element, die nicht im Schnitt der symmetrischen Differenz sind.

Schnitt der symmetrischen Differenz? verwirrt

Die symmetrische Differenz ist doch die disjunkte Vereinigung von $\begin{eqnarray*} A\setminus B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\setminus A \end{eqnarray*}$ . Wenn sie leer ist, dann sind also beide Differenzmengen leer. Was folgt daraus?

12.03.2009, 20:42

Gast120309

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
1. ist korrekt.

Zitat:

Original von Gast120309
$\begin{eqnarray*} A = B \Rightarrow A \Delta B = A \Delta A = A \cup A \setminus A \cap A = A \setminus A = \emptyset \end{eqnarray*}$

Klammern setzen! $\begin{eqnarray*} (A\cup A)\setminus (A\cap A) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Schnitt der symmetrischen Differenz? verwirrt

Sorry, ich habe mich nicht klar genug ausgedrückt. Ich kenne die Definition der symmetrischen Differenz als: $\begin{eqnarray*} A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) \end{eqnarray*}$ Was ich meinte ist, wenn A und B nicht gleich sind, dann ist in der eben genannten Definition die Vereinigung größer als der Schnitt von A und B und die Differenz dieser Mengen ist dann nicht leer. Das wär doch dann der Beweis der ursprünglichen Behauptung, oder?

Vielen Dank für die Antwort.

12.03.2009, 21:35

Mathespezialschüler

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Ja, du solltest aber noch begründen, warum der Schnitt beider Mengen echt in der Vereinigung enthalten ist.

12.03.2009, 22:21

Guest120309

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ja, du solltest aber noch begründen, warum der Schnitt beider Mengen echt in der Vereinigung enthalten ist.

Kann ich das über eine Fallunterscheidung erreichen? Also z.B. Da A ungleich B, kommen folgende Beziehungen zwischen den Mengen A und B in Frage:
A und B sind disjunkt, dann gilt...
A ist echte Teilmenge von B oder B ist echte Teilmenge von A, dann gilt ...
Und dann der Fall der gilt, wenn die eben genannten Fälle nicht gelten: $\begin{eqnarray*} (\exists x): x \in A \wedge x \in B \end{eqnarray*}$ , dann gilt.

13.03.2009, 12:37

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Guest120309
A und B sind disjunkt, dann gilt...
A ist echte Teilmenge von B oder B ist echte Teilmenge von A, dann gilt ...
Und dann der Fall der gilt, wenn die eben genannten Fälle nicht gelten: $\begin{eqnarray*} (\exists x): x \in A \wedge x \in B \end{eqnarray*}$ , dann gilt.

Beim letzten Fall hast du irgendwas komisches gemacht. Die Fallunterscheidung geht viel einfacher: Sind die Mengen verschieden, dann gibt es zwei Fälle:

1. Es gibt ein Element, was in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , aber nicht in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ liegt.
2. Es gibt ein Element, was in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , aber nicht in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt.

Damit ist man dann sofort am Ziel.

13.03.2009, 19:42

Gast120309

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Jetzt ist alles klar. Vielen Dank für die Antworten.

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