maximalwertaufgabe

12.03.2009, 14:39	Cor	Auf diesen Beitrag antworten »
maximalwertaufgabe hi leute ich komm bei dieser maximalwertaufgabe auf keinen grünen zweig. ich hab zwar sone kleine skizze aber ich weiss nichtmal ob ich die aufgabe richtig verstanden hab^^ also aufgabe ist: [attach]10031[/attach] so meine skizze is erbärmlich aber auf die schnelle bekomm ich nichts besseres hin. sorry [attach]10032[/attach] so mal zur erklärung der skizze das gelbe auf der strecke L soll die lichtquelle sein das gelbe an den kreisen die angestrahlte fläche die maximal werden soll die geraden von der lichtquelle soll der weg des lichtes sein und damit kann man ja auch winkel bestimmen indem sie auf die kreise treffen ich hoffe ihr versteht was ich mein nu hät ich vllt noch die höhen iwie einzeichnen können als ansatz vom mittelpunkt der kreise bis nach ganz oben. so un hier verlassen mich auch die ideen. komm auf keinen klaren ansatz und hoffe ihr könnt mir helfen^^ danke schonmal im vorraus
12.03.2009, 19:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: maximalwertaufgabe Mmh, also als Physiknoob... muss ich erstmal den Begriff Punktförmige Lichtquelle klären.... http://www.filmscanner.info/Bilder/Lichtstrahl3.gif Dan angeleuchteten Bereich erhält man dann, wie du es gezeichnet hast, indem man von dem Punkt der Lichtquelle die Tangenten auf die Kugeln legt. (Licht bereitet sich gerade aus.... ) Man könnte deine Skizze nun durch Lote auf r1r2 ergänzen. Und zwar immer durch die Tangentenpunkte. Wird die Summe dieser Lote maximal, so auch die angeleuchtete Fläche. L ist in der Skizze falsch. Muss von Mittelpunkt zu Mittelpunkt gehen. Wo sind die Randlagen der Kugel und welche Lotsumme gehört dazu?
13.03.2009, 10:52	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mein Ansatz dazu (ich hoffe, das klappt mit dem Hochladen der Grafik). Ich schätze/rate mal, es könnte sein: x1/r1=x2/r2 aber durchrechnen musst du die Aufgabe schon selbst.
13.03.2009, 11:36	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bezeichnungen --------------------- Vervollständige deine Skizze mal mit folgenden Bezeichnungen, damit wir uns verstehen! M1, M2___Kugelmittelpunkte B1, B2____Berührungspunkte der Tangenten (Lichtstrahlen) an den Kugeln P________Position der Lichtquelle Wir zerlegen den Kugelabstand in L=L1+L2, wobei L1 und L2 jeweils die Abstande bis zur Lichtquelle sind. R1, R2____Radien der Kreise Wir führen folgende Winkel ein: theta1=Winkel (B1,M1,P) theta2=Winkel (B2,M2,P) ----------------------------------------------------- Lösung: Die beleuchteten Flächen A1 und A2 der Kugelfläche lauten (Siehe Tabellenbücher) A1=2piR1^2[1-cos(theta1)]_____(1) A2=2piR2^2[1-cos(theta2)]_____(2) Da die beiden Dreiecke (B1,M1,P) und (B2,M2,P) rechtwinklig sind, gilt cos(theta1)=R1/(R1+L1)_____(3) cos(theta1)=R2/(R2+L2)_____(4) Wir fordern, dass die Summe A1+A2 maximal werden soll. Mit (1), (2) heißt das Maximum=2piR1^2[1-cos(theta1)]+2piR2^2[1-cos(theta2)]}_____(5) Darin eliminieren wir mittels (3), (4) die Größen cos(theta1) und cos(theta2). Maximum=2piR1^2[1-R1/(R1+L1)]+2piR2^2[1-R2/(R2+L2)]}_____(5) Hier setzen wir L2=L-L1 und erhalten Maximum=2piR1^2[1-R1/(R1+L1)]+2piR2^2[1-R2/(R2+L-L1)]}_____(6) Jetzt haben wir nur noch eine Variable L1. Ableiten von (6) nach L1 muss null ergeben. Ableiten und vereinfachen ergibt 0=R1^3/(R1+L1)^2-R2^3/(R2+L-L1)^2_____(7) Auflösen nach L1 ergibt L1={(R2+L)*X-R1}/{1+X}____Abkürzung: X=Wurzel{(R1/R2)^3}_____(8.) L2 bekommt man mittels L=L1+L2. Um den Sachverhalt einleuchtend darzustellen, ersetzen wir in (7) L=L1+L2 und schreiben (7) als Verhältnisgleichung wie folgt (R1/R2)^3=(E1/E2)^2____Abkürzung E1=R1+L1; E2=R2+L2_______(9) Hierbei sind E1, E2 die Entfernungen von der Lichtquelle zu den Kugelmittelpunkten. Gleichung (9) ist sehr interessant und bedeutet in Worten: Die 3.Potenzen der Kugelradien sind proportional zu den 2.Potenzen der Entfernung von der Lichtquelle zum Kugelmittelpunkt. Das erinnert an das 3.Keplersche Gesetz, wo eine ähnliche Gleichung existiert. Probe1: Wählt man z.B. gleich große Kugeln, also R1=R2, dann ist in (8.) X=1. Dann liefert (8.) erwartungsgemäß L1=L/2. Das heißt, die Lichtquelle liegt in der Mitte.

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