Anwendungen linearer Gleichungssysteme

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Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendungen linearer Gleichungssysteme
HEy,
hab mal wieder ein Problem. Also erst mal die Aufgabe

Für düngeversuche sollen aus den drei düngersorten "1","2" und "3" 10kg Blumendünger gemischt werden, der 40% kalium, 35% stickstoff und 25% phosphor enthält. welche mengen werden benötigt?
Dann ist im Buch noch eine Tabelle:


Düngersorte=DS



DS1 DS2 DS3

kalium 40% 30% 50%
stickstoff 50% 20% 30%
phosphor 10% 50% 20%



Ich habe dann folgendes LGS aufgestellt


40 30 50 40
50 20 30 35
10 50 20 25
1 1 1 10


ich hab für x1=1,4
x2=23,7
x3=-12,3


der wert für x3 kann ja schon in dem Zusammenhang nicht stimmen oder ?
Deswegen zweifel ich an meinem ansatz unglücklich

Ich danke schon mal für eure Hilfe
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz ist richtig.

Die Prozentzahlen ergeben zur Summe immer 100 und die Summe der einzelnen Mengen ist immer 10 kg, daher haben die 4 Gleichungen in den drei Unbekannten dieselbe Lösungsmenge wie bereits drei von den vier beliebig herausgegriffenen Gleichungen. Die 4 Gleichungen im System sind also voneinander abhängig und für die Lösung genügt es, bereits deren drei Gleichungen heranzuziehen. Die vierte Gleichung ist redundant (überflüssig).

Du hast dann irgendwo einen Rechenfehler gemacht, denn es ergibt sich glatt x = 4 kg, y = 3 kg und z = 3 kg.

mY+
 
 
Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »

aber wenn man die Ergebnisse in die ersten drei gleichungen einsetzt passt es doch nicht oder ?unglücklich
Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die Tabelle noch mal in Excel geschrieben damit das übersichtlicher ist

Edit (mY+): Externer Bilder-Link entfernt. Bilder bitte im Board direkt hochladen!

[attach]10070[/attach]
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Schon richtig verstanden! Die Resultate 4 kg, 3 kg und 3 kg stimmen aber, sie erfüllen auch die Gleichung.

Kalium:
DS1: 40% von 4 kg = 1,6 kg
DS2: 30% von 3 kg = 0,9 kg
DS3: 50% von 3 kg = 1,5 kg
-----------------------------------
Kalium insgesamt ......... 4 kg


Stickstoff:
DS1: 50% von 4 kg = 2,0 kg
DS2: 20% von 3 kg = 0,6 kg
DS3: 30% von 3 kg = 0,9 kg
-----------------------------------
Stickstoff insgesamt .. 3,5 kg


Phosphor:
DS1: 10% von 4 kg = 0,4 kg
DS2: 50% von 3 kg = 1,5 kg
DS3: 20% von 3 kg = 0,6 kg
-----------------------------------
Phosphor insgesamt ... 2,5 kg

-->
H + N + P = 10 kg

mY+
Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »

achso.. ich hab das Ergebnis nicht im Zusammenhang mit der Aufgabe gesehen
Dankeschön für die Hilfe
yo-less Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber was hier steht ist falsch
Der richtige Ansatz lautet:

0,4x+0,3y+0,5z=4
0,5x+0,2y+0,3z=3,5
0,1x+0,5y+0,2z=2,5
x+y+z=10

Dann ergibt sich:
x=4
y=3
z=3

Alles andere ist relativer Quatsch, sorry =D
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

@yo-less
Meinst du, dass du da etwas Neues verbreitest? verwirrt

mYthos hat das Ergebnis schon vor 1,5 Jahren aufgeschrieben.

Zitat:
Original von mYthos
Du hast dann irgendwo einen Rechenfehler gemacht, denn es ergibt sich glatt x = 4 kg, y = 3 kg und z = 3 kg.


Zitat:
Original von mYthos
Schon richtig verstanden! Die Resultate 4 kg, 3 kg und 3 kg stimmen aber, sie erfüllen auch die Gleichung


Also erst mal den Thread sorgfältig lesen, bevor man sich als Besserwisser aufspielt:

Zitat:
Original von yo-less
Alles andere ist relativer Quatsch, sorry =D


unglücklich
yo-less Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein Hinweis
x: Menge von Düngemittel 1 in kg
y: Menge von Düngemittel 2 in kg
z: Menge von Düngemittel 3 in kg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bekommst du aber einen Ordnungsruf!

Du wurdest bereits darauf hingewiesen, dass du keine Allgemeinplätze verbreiten und nicht alte Sachen aufwärmen sollst, die längst gegessen sind!

mY+
dexxtrose Auf diesen Beitrag antworten »
yo-less liegt aber richtig
Hallo Forum,

da dieser Thread einer der top Google-Treffer ist, wenn man nach einer Lösung zu dieser Aufgabe sucht, möchte ich trotz seines Alters meinen Beitrag anbringen.

Der ursprüngliche Ansatz von Lisa89 führt zu halbwegs vernünftigen Lösungen, aber nicht in dem Sinn, wie es dargestellt wird.

Ihr Gleichungssystem:
40 30 50 40
50 20 30 35
10 50 20 25

würde, wenn sie richtig gerechnet hätte, die Lösungen x=0.4, y=0.3 und z=0.3 haben und nicht, wie von mYthos angegeben x=4, y=3 und z=3.

Lisa89 hat als Variable nicht die kg-Zahl eines Düngers verwendet, sondern eiskalt den Prozentsatz benutzt. Dadurch ist das Ergebnis ein Prozentanteil. Die exakte Bedeutung der Variable könnte ich so nicht in Worte fassen.

yo-less weist zu Recht darauf hin, dass die gesuchten Größen Mengen in kg eines Düngemittels sind.

Beispiel für das Aufstellen einer Gleichung:
Wenn ich 10 kg eines Düngemittels benötige, dass z.B. 35% Stickstoff enthält, so benötige ich also 3.5kg Stickstoff.
Düngemittel 1 enthält pro kg 0.5kg Stickstoff, Düngemittel 2 0.2 kg usw.
Also: 0.5 mal (die kg-Anzahl von Düngemittel 1) + 0.2 mal (die kg-Anzahl von Düngemittel 2) + 0.3 mal (die kg-Anzahl von Düngemittel 3) ist die Gesamtmenge des Stickstoffs der neuen Mischung, was also 3.5 sein muss, somit 0.5x+0.2y+0.3z=3.5 (vgl. yo-less)

Ich hoffe, künftige Thread-Nachleser können etwas mit meinem Hinweis anfangen.

Gruß
dexxtrose
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: yo-less liegt aber richtig
@dexxtrose

Du musst schon richtig lesen. Es ist zu unterscheiden zwischen den Faktoren, die als Lösung des Gleichungssystems ermittelt werden, und den einzusetzenden kg-Mengen.

Als Lösung des LGS erhält man in der Tat x=0.4, y=0.3 und z=0.3. Diese Faktoren beschreiben das gesuchte Verhältnis der Mineralien zueinander.

Jetzt muss jeweils nur noch mit der gewünschten Gesamtmenge (10 kg) multipliziert werden und man erhält die von mYthos vollkommen richtig (!) dargestellten Ergebnisse.

Diese Polemik:
Zitat:

Lisa89 hat als Variable nicht die kg-Zahl eines Düngers verwendet, sondern eiskalt den Prozentsatz benutzt.

... ist also überflüssig und deutet darauf hin, dass du ihren Ansatz nicht verstanden hast.

Der Ansatz von Lisa89 und die Bestätigung von mYthos sind somit keineswegs zu beanstanden, nur weil es auch andere Möglichkeiten gibt, die Aufgabe anzugehen.

Man kann also entweder gleich in die gewünschte Einheit (kg) umwandeln oder dies nach der Lösung des LGS tun.
Am Ergebnis ändert das gewählte Vorgehen nichts.

smile
dexxtrose Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber...
Sorry, ob der Polemik. Das war nicht nötig. geschockt
(Ebenso wie mir zu sagen, dass ich nicht richtig lese oder Ansätze nicht verstehe.)

Ich wollte damit ausdrücken, dass es bei der Lösung von Mischungsaufgaben keine gute Idee ist, die gegeben Zahlen in ein Gleichungssystem zu stecken und dann zu hoffen, dass man die Lösung korrekt deutet. (In diesem Fall als das Verhältnis der Mineralien.) - Im Sinne einer Lösungsstrategie zu Mischungsaufgaben

Wenn ich die Variablen als den Anteil (genauer Prozentanteil) des Düngemittels an der Mischung betrachte, dann würde eine Gleichung aussagen:
40 mal der Anteil des Düngemittels 1 an der Mischung plus 30 mal der Anteil des Düngemittels 2 an der Mischung plus 50 mal den Anteil des Düngemittels 3 an der Mischung ergibt die Summe aller Anteile der Düngemittel an der Mischung.
Ich wüsste nicht verständlich zu vermitteln, warum die Faktoren die Prozentsätze sind und warum die Summe den Wert 40 annehmen muss. (Obwohl es mathematisch korrekt ist!)

Kernpunkt meines Beitrag war: x=4, y=3 und z=3 sind nicht die Lösungsmenge des ursprünglich genannten Gleichungssystems. Ohne die zusätzliche Deutung, ist das verwirrend.
Das schmückende Beiwerk meines Beitrags sollte der Verständlichkeit zuträglich sein.

Freude
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ja, aber...
Zitat:
Original von dexxtrose
Ich wollte damit ausdrücken, dass es bei der Lösung von Mischungsaufgaben keine gute Idee ist, die gegeben Zahlen in ein Gleichungssystem zu stecken und dann zu hoffen, dass man die Lösung korrekt deutet.

1. Es sind keine "gegebenen Zahlen" sondern Prozentanteile. Und natürlich kann man die direkt verwenden.
2. Hoffen, dass man die Lösung richtig deutet, muss man nur, wenn man nicht begreift, was man macht. Augenzwinkern


Zitat:
Original von dexxtrose
Wenn ich die Variablen als den Anteil (genauer Prozentanteil) des Düngemittels an der Mischung betrachte, dann würde eine Gleichung aussagen:
40 mal der Anteil des Düngemittels 1 an der Mischung plus 30 mal der Anteil des Düngemittels 2 an der Mischung plus 50 mal den Anteil des Düngemittels 3 an der Mischung ergibt die Summe aller Anteile der Düngemittel an der Mischung.
Ich wüsste nicht verständlich zu vermitteln, warum die Faktoren die Prozentsätze sind und warum die Summe den Wert 40 annehmen muss. (Obwohl es mathematisch korrekt ist!)

Es ist egal, ob man für die Gleichungen des Systems die prozentualen oder tatsächlichen Verhältnisse der Mineralien zueinander einsetzt.
Weiterhin muss die Summe 40 ergeben, weil es die Aufgabe verlangt. Augenzwinkern


Zitat:
Original von dexxtrose
Kernpunkt meines Beitrag war: x=4, y=3 und z=3 sind nicht die Lösungsmenge des ursprünglich genannten Gleichungssystems.


Zum wiederholten Mal: Das ist auch nie behauptet worden:

Zitat:
Original von mYhos
es ergibt sich glatt x = 4 kg, y = 3 kg und z = 3 kg.


smile
dexxtrose Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Weiterhin muss die Summe 40 ergeben, weil es die Aufgabe verlangt.


Das ist kein Grund, der den Wert verständlich erklären würde.

Da es mathematisch sinnvoll ist, müsste man es doch in eine verständliche Formulierung bringen können. Diese finde ich aber leider nicht.

40 ist der geforderte Prozentsatz.
Als rechte Seite der Gleichung müsste es aber die Summe von etwas sein. Der Satz müsste also begonnen werden können mit "40 ist die Summe der/von/aller ..."
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Da von niemandem gefordert wird, dass man die Aufgabenstellung bzw. den Rechenansatz irgendjemandem erklären soll, weiß ich nicht, warum man sich den Kopf über irgendwelche Formulierungen zerbrechen sollte.

Die Rechnung ist eindeutig, sie ist von der Fragestellerin seinerzeit aufgestellt und verstanden worden, die richtigen Ergebnisse sind genannt worden, mehr wollen wir gar nicht.

Schließlich schreiben wir hier ja kein Buch, sondern helfen Fragestellern bei der Lösung ihrer mathematischen Probleme. smile
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