Differenzenquotient bei 1/x

10.09.2006, 22:42

Olleg89

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Differenzenquotient bei 1/x

Hallo,
ich komme bei einer Aufgabe einfach nicht weiter. Ich soll mit Hilfe des Differenzenquotienten die Ableitung der von Funktion f(x)=1/x an der Stelle x herausfinden. Mit den Ableitungsregeln wäre das ja -1/x². Aber mit dem Differenzenquotienten bekomm ich heraus, das die Funktion gar nicht differenzierbar ist. Also meine Frage: Verrechnet oder muss das so sein?

Danke für die Hilfe

Grüße

Olleg

10.09.2006, 22:44

sqrt(2)

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Verrechnet. Zeig mal, was du da gemacht hast.

10.09.2006, 23:09

Olleg89

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RE: Differenzenquotient bei 1/x
Hi,

also ich habe zwei Punkte bestimmt und dann so gerechnet:

f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} /h \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x})* \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{xh+h²} - \frac{1}{xh} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to 0} (\frac{1}{xh+h²} - \frac{1}{xh}) \end{eqnarray*}$

So und das wäre nicht differenzierbar.

Vielleicht entdeckt ja jemand den Fehler!

10.09.2006, 23:13

sqrt(2)

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Kein Fehler, du bist nur noch nicht fertig. Du hast da einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ stehen und das ist undefiniert, da kannst du keine Rückschlüsse ziehen, ob der Grenzwert existiert oder nicht. Bringe die beiden Brüche auf einen Nenner und kürze dann.

10.09.2006, 23:25

Olleg89

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RE: Differenzenquotient bei 1/x
Hallo,
danke erstmal bis dahin. Nur wie kann ich die beiden Brüche den auf einen Nenner bringen?

Danke

10.09.2006, 23:29

sqrt(2)

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So, wie du es damals in der sechsten bzw. achten Klasse gelernt hast: Beide Brüche zum Hauptnenner erweitern (das machst du, indem du beide Nenner faktorisierst und mit jeweils den Faktoren erweiterst, die dem einen Bruch gegenüber dem anderen fehlen) und dann einfach addieren -- schließlich haben sie dann beide den gleichen Nenner.

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10.09.2006, 23:40

Olleg89

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RE: Differenzenquotient bei 1/x
Also ich steh im Moment echt auf dem Schlauch, was ist den hier der Hauptnenner? verwirrt

verwirrt

Den ich kann ja nur das h ausklammer, und wie soll ich dann erweitern.
Danke!

10.09.2006, 23:50

sqrt(2)

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Ein Beispiel: Du möchtest

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ab+ac)}+\frac{1}{ad}=\frac{1}{a(b+c)}+\frac{1}{ad} \end{eqnarray*}$

auf einen Nenner bringen. Nach der Faktorisierung (rechts) siehst du: Der rechte Bruch hat ein a, das hat der linke aber auch, nichts zu tun. Das d des rechten Bruches hat der linke aber nicht, also erweiterst du ihn mit d:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a(b+c)}+\frac{1}{ad}=\frac{d}{ad(b+c)}+\frac{1}{ad} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt andersherum vergleichst, hat der rechte Bruch a und d vom linken schon, (b+c) aber nicht. Also wieder erweitern:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{ad(b+c)}+\frac{1}{ad}=\frac{d}{ad(b+c)}+\frac{b+c}{ad(b+c)} \end{eqnarray*}$

Und da sie jetzt den gleichen Nenner haben, kannst du sie jetzt einfach addieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{ad(b+c)}+\frac{b+c}{ad(b+c)}=\frac{d+b+c}{ad(b+c)} \end{eqnarray*}$

Fertig.

11.09.2006, 00:06

Olleg89

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Hallo,
Dankeschön. Gott

Gott

Schlimm, wenn man solche Sachen als Schüler der 12. Klasse nicht mehr weiß. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hab jetzt auch soweit vereinfacht, nur das h bleibt bei mir im Nenner. Mein vollständig gekürztes Ergebnis ist dann
$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{hx} \end{eqnarray*}$

11.09.2006, 00:08

sqrt(2)

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Was bitte hast du da gemacht? Dein Ergebnis hat wirklich keine allzugroße Ähnlichkeit mit dem richtigen Ergebnis.

11.09.2006, 00:16

Olleg89

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RE: Differenzenquotient bei 1/x
Hallo,

hehehe. Irgendwie nicht mein Mathetag traurig

traurig

Also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h(x+h)} - \frac{1}{xh} = \frac{xh}{h²x(x+h)} - \frac{h(x+h)}{h²x(x+h)} = \frac{xh-h(x+h)}{h²x(x+h)} = \frac{xh-h}{h²x} = \frac{h(x-1)}{h²x} = \frac{x-1}{hx} \end{eqnarray*}$

Hoffe, jemand findet den Fehler.

11.09.2006, 00:28

zweiundvierzig

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Aus Summen kann man nicht kürzen...

11.09.2006, 00:31

sqrt(2)

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RE: Differenzenquotient bei 1/x

Zitat:

Original von Olleg89
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{h(x+h)} - \frac{1}{xh} = \frac{xh}{h²x(x+h)} - \frac{h(x+h)}{h²x(x+h)} \end{eqnarray*}$

Zwar nicht der Hauptnenner, aber ein gemeinsamer Nenner, das ist auch OK (des zweiten h hätte es nicht bedurft).

Zitat:

Original von Olleg89
$\begin{eqnarray*} = \frac{xh-h(x+h)}{h²x(x+h)} = \frac{xh-h}{h²x} \end{eqnarray*}$

Den Spruch mit dem Kürzen aus Summen kennst du, oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}=\frac{12}{8}=\frac{3\cdot4}{3+5}=\frac{4}{1+5}=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

h kürzen, Zähler zusammenfassen, dann bist du fast fertig.

11.09.2006, 00:42

Olleg89

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RE: Differenzenquotient bei 1/x
Hallo,
also ich danke erst nocheinmal. Ja den Spruch kenn ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe jetzt als Endergebniss sogar $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x²-h} \end{eqnarray*}$ . Nur das minus fehlt mir noch.

11.09.2006, 00:45

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} -(x+h)=-x-h \end{eqnarray*}$

11.09.2006, 00:54

Olleg89

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Auch auf die Gefahr hin, dass ihr mich hier ausschließt, weil ich so schwer von Begriff bin. Ich kann doch nicht einfach so ausklammern oder?

11.09.2006, 01:05

sqrt(2)

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Das ist nicht Ausklammern, das ist Ausmultiplizieren.

$\begin{eqnarray*} -(x+h)=(-1)(x+h)=(-1)x+(-1)h=-x-h \end{eqnarray*}$

Distributivgesetz...

Das macht dann

$\begin{eqnarray*} \frac{-h}{hx(x+h)}=-\frac{1}{x(x+h)}=-\frac{1}{x^2+xh}\stackrel{h\to0}{\longrightarrow}-\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ .

11.09.2006, 01:09

Olleg89

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Soooo.... jetzt seh ich auch meinen fehler, ich habe ein minus nicht mit ausmultipliziert. Dann danke ich nochmals herzlich, hat ja lange gedauert, aber am Ende doch geklappt. Also nochmal danke für die Geduld und Mühe Gott

Gott

Jetzt werd ich aber erstmal schlafen gehen und mich ausruhen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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