Knacknuss: goniometrische Gleichung

13.03.2009, 09:58

rosinante

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Knacknuss: goniometrische Gleichung

Erstmal Hallo :-) allerseits.

Folgende goniometrische Knacknuss bereitet mir Sorgen:

sin(x) + cos(x) + tan(x) = cot(x)

1. Versuch:
$\begin{eqnarray*} sin(x) + cos(x) + \frac{sin(x)}{cos(x)} = \frac{cos(x)}{sin(x)} \\ sin^{2}(x)+sin(x)cos(x)+\frac{sin^{2}(x)}{cos(x)} = cos(x) \\ sin^{2}(x)cos(x)+sin(x)cos^{2}(x)+sin^{2}(x) = cos^{2}(x) \\ sin^{2}(x)cos(x)+sin(x)cos^{2}(x)+sin^{2}(x) - cos^{2}(x) = 0 \end{eqnarray*}$

da sin(x)^2+cos(x)^2=1 habe ich also im Wesentlichen ein Gleichungssystem der Form:

$\begin{eqnarray*} a^{2}b+ab^{2}+a^{2}-b^{2}=0 \\ \\ a^{2}+b^{2}=1 \end{eqnarray*}$

ich kann durch die fast-Symmetrie raten, dass a = -b eine Lösung liefert, doch ich möchte die Lösungen algebraisch finden (ist eine schöne Lehrbuchaufgabe aus Bachmann – ist also algebraisch lösbar).
Eine Idee wäre

$\begin{eqnarray*} sin^{2}(x) - cos^{2}(x) = -cos(2x) \end{eqnarray*}$

zu setzen, aber wie weiter?

2. Versuch:
$\begin{eqnarray*} sin(x) + cos(x) + tan(x) = \frac{1}{tan(x)} \\ sin(x)tan(x) + cos(x)tan(x) + tan^{2}(x) = 1 \\ sin(x) \frac{sin(x)}{cos(x)}+cos(x) \frac{sin(x)}{cos(x)}+tan^{2}(x) = 1 \\ \frac{sin^{2}(x)}{cos(x)}+sin(x)+tan^{2}(x) = 1 \end{eqnarray*}$

..hmmm

Hilfe - wäre sehr willkommen

13.03.2009, 10:09

rosinante

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RE: Knacknuss: goniometrische Gleichung
- sorry - ich habe gleich doppelgepostet und wieder gelöscht

13.03.2009, 10:30

riwe

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RE: Knacknuss: goniometrische Gleichung
eine lösung ist auf jeden fall

$\begin{eqnarray*} tanx+1=0 \end{eqnarray*}$

13.03.2009, 11:02

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Zitat:

Original von rosinante
$\begin{eqnarray*} a^2b + ab^2 + a^2-b^2 = 0 \\ a^2 + b^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Gute Idee, um erstmal von dem riesigen Symbolhaufen wegzukommen. Jetzt aber genau hinschauen: In der ersten Gleichung links kannst du $\begin{eqnarray*} (a+b) \end{eqnarray*}$ ausklammern:

$\begin{eqnarray*} (a+b)(ab+a-b) = 0 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.03.2009, 12:03

rosinante

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mann o mann.

ich hatte ja die Lösung a=-b gesehen - wie blöd muss ich sein, dass ich dann nicht selbst drauf komme es mal spontan mit (a+b) (...)=0 zu probieren.

Vielen Dank euch für den prompten Tipp und die Lösung - da stand ich total auf dem Schlauch.

13.03.2009, 15:43

etzwane

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Fehlt da nicht noch die Lösung, die sich aus der zweiten Klammer

$\begin{eqnarray*} (ab+a-b)=0 \end{eqnarray*}$

ergibt?

Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray*} a=0,469 \end{eqnarray*}$ (gerundet)

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13.03.2009, 15:51

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Zitat:

Original von etzwane
Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray*} a=0,469 \end{eqnarray*}$ (gerundet)

...und eine weitere:

$\begin{eqnarray*} a\approx -0.8832 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Insgesamt sind das die beiden reellen Lösungen der Gleichung vierten Grades

$\begin{eqnarray*} a^2 = (1-a^2)(1-a)^2 \end{eqnarray*}$ .

13.03.2009, 16:56

etzwane

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Zitat:

Original von Arthur Dent

...und eine weitere:

$\begin{eqnarray*} a\approx -0.8832 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ach ja, Ergebnissen von Quadratwurzeln sind positiv und negativ ...

Diese kleine Grafik macht es auch deutlich (mit sin(x) entsprechend obigem a):

13.03.2009, 17:04

TommyAngelo

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Müsste a nicht -0.5 wurzel 2 sein und damit x = -0.78? Man könnte auch noch 2pi addieren, dann ist x=5.5

Dann gibts halt eine Lösung, wo die 2. Klammer 0 ist.

13.03.2009, 17:42

riwe

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ein bilderl dazu smile

smile

13.03.2009, 22:55

etzwane

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Zitat:

Original von TommyAngelo
Müsste a nicht -0.5 wurzel 2 sein und damit x = -0.78? Man könnte auch noch 2pi addieren, dann ist x=5.5

Vergleiche mal in der Grafik oben die Werte für die Schnittpunkte von lila, rot und grün mit den von dir errechneten Werten, sie passen dazu.

13.03.2009, 23:11

etzwane

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Zitat:

Original von riwe
ein bilderl dazu smile

smile

Nach etwas überlegen:

tan(x) + 1 = 0 entspricht a + b = 0

tan(x) + sin(x) = 1 entspricht ab + a = b

jeweils nach Division durch b

somit

x=0,49 entspricht a=0,469
x=4,22 entspricht a=-0,883

passt also zusammen.

13.03.2009, 23:59

riwe

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verwirrt

verwirrt

14.03.2009, 08:51

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@Werner

Ich kann zwar deine Tabelle nicht ganz deuten, aber vielleicht liegt hier der Irrtum:

Man kann von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ausgehend nicht in allen Fällen einfach nur $\begin{eqnarray*} x = \arcsin(a) \end{eqnarray*}$ bilden. unglücklich

unglücklich

Richtigerweise berechnet man über $\begin{eqnarray*} ab+a-b=0 \end{eqnarray*}$ erstmal $\begin{eqnarray*} \cos(x) = b = \frac{a}{1-a} \end{eqnarray*}$ und kann dadurch dann erstmal eingrenzen, in welchem Quadranten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ liegen darf. Wenn man so will, ist das Polarkoordinatenberechnung $\begin{eqnarray*} (r,x) \end{eqnarray*}$ mit bekanntem Radius $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Konkret:

(I) $\begin{eqnarray*} \sin(x) = a = 0.4690 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} \cos(x) = b = \frac{a}{1-a} = 0.8832 \end{eqnarray*}$ , also erster Quadrant mit dann $\begin{eqnarray*} x= \arcsin(a) = 0.4881 \end{eqnarray*}$ .

(II) $\begin{eqnarray*} \sin(x) = a = -0.8832 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} \cos(x) = b = \frac{a}{1-a} = -0.4690 \end{eqnarray*}$ , also dritter Quadrant mit dann $\begin{eqnarray*} x= \pi-\arcsin(a) = 4.224 \end{eqnarray*}$ .

Liegt natürlich auch an der zwischenzeitlichen nichtäquivalenten Quadrierungsumformung, die Scheinlösungen hervorbringt - die aber durch eine ordentliche Probe zuverlässig entlarvt werden können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.03.2009, 09:40

riwe

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@arthur, danke schön,

nach einem erholsamen schlaf und einer dusche, ist´s mir auch klar geworden.

gestern zu später stunde hat mich der beitrag von etzwane - er ist natürlich unschuldig daran - verwirrt.

ich habe nict bedacht, dass gilt
arcsin(0.4690)=0.4881

ich habe einfach den arcsin vergessen
man sollte halt rechtzeitig zu bett gehen.

nochmals danke schön

meine meinung:
die ganze substituiererei ist zwar sehr hübsch, bringt dann im endeffekt aber nicht allzu viel,
denn die gleichung 4. grades wird man ja auch numerisch lösen (müssen).
diesen weg hatte ich anfangs auch gewählt, da sich die gleichung 4. grades aber nicht einfach lösen läßt , habe ich den anderen weg gewählt.

mit der abspaltung von
$\begin{eqnarray*} tanx+1=0 \end{eqnarray*}$
und der numerischen lösund des 2. trigonometrischen faktors hat man meiner meinung nach viel weniger arbeit.

14.03.2009, 10:36

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Zitat:

Original von riwe
denn die gleichung 4. grades wird man ja auch numerisch lösen (müssen).

Wird man zwar in der Regel so tun, aber nicht "müssen": Schließlich gibt es die algebraische Lösung von Gleichungen vierten Grades, wenn auch in Form exorbitanter Wurzelmonster. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.03.2009, 23:18

rosinante

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Hallo und vielen Dank :-)

die numerische Lösung ist natürlich ok, aber die Knacknuss war so noch nicht ganz nach meinem Geschmack gelöst, da ich es ja algebraisch berechnen wollte :-).
Lösungsformeln für Gleichungen 4.Ordnung habe ich nicht zur Hand und so habe ich es mir noch mal genauer angeschaut.

Hier ist also die Lösung algebraisch (falls es jemanden interessiert):

$\begin{eqnarray*} sin(x)cos(x)+sin(x)-cos(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} sin(2x)=cos(x)-sin(x) \end{eqnarray*}$ (=>Additionstheorem für Sinus)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} sin^{2}(2x)=cos^{2}(x)+sin^{2}(x)-2sin(x)cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} sin^{2}(2x)=1-2sin(x)cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} sin^{2}(2x)=1-sin(2x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} sin^{2}(2x)+sin(2x)-1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin^{2}(2x)+4sin(2x)-4=0 \end{eqnarray*}$

=> quadr. Gleichung für sin(2x)

$\begin{eqnarray*} sin(2x) = \frac{-4+ \sqrt{32}}{2} \end{eqnarray*}$ (andere Lösung ist nicht zw. -1 und 1)

Somit sin(2x) = 0.828427

also 2x = 0.9762936 + k * 2pi d.h. x = 0.4881 + k * pi
oder 2x = 2.165299 + k * 2pi d.h. x = 1.08264 + k * pi

Um zu entscheiden, welche Lösungen tatsächlich stimmen, kann man sich überlegen, welche Quadranten in Frage kommen - z.B. wie Arthur Dent es gemacht hat oder so:

$\begin{eqnarray*} sin(x)cos(x)+sin(x)-cos(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin(x) (cos(x)+1) = cos(x) \end{eqnarray*}$

da (cos(x)+1) positiv (oder null) ist hat die Linke Seite das Vorzeichen des Sinus und die Rechte das Vorzeichen des Cosinus. Als Lösungen kommen also nur Werte in Frage, bei welchen der Sinus und der Cosinus dasselbe Vorzeichen haben => die Lösung muss im 1. oder 3. Quadranten liegen.

somit sind die Schlusslösungen:

x = 0.4881 + k * 2pi
x = 4.2242 + k * 2pi

=> Knacknuss gelöst. Danke allen für die Hilfe

16.03.2009, 10:43

rosinante

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Zitat:

da (cos(x)+1) positiv (oder null) ist hat die Linke Seite das Vorzeichen des Sinus und die Rechte das Vorzeichen des Cosinus. Als Lösungen kommen also nur Werte in Frage, bei welchen der Sinus und der Cosinus dasselbe Vorzeichen haben => die Lösung muss im 1. oder 3. Quadranten liegen.

habe gerade gemerkt, dass ja 1.08264 auch im ersten Quadranten liegt... d.h. diese Lösung muss man halt dann wohl oder übel durch den Einsetz-Test widerlegen.

16.03.2009, 16:38

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Zitat:

Original von rosinante
$\begin{eqnarray*} sin^{2}(2x)+4sin(2x)-4=0 \end{eqnarray*}$

=> quadr. Gleichung für sin(2x)

Respekt - dann war die Gleichung 4.Grades am Ende doch nicht so schlimm, d.h. noch ganz passabel lösbar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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