Gleichung umformen

13.03.2009, 11:16

Berti-82

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Gleichung umformen

Aloha

Wink

Ich muss euch wieder einmal um Hilfe bitten.
Ich soll prüfen ob die Gerade g(x)=ax+2 Sekante, Passante oder Tangente der Parabel f(x)=2x²-3x+2 ist.
Also hab ich die Funktionen gleichgesetzt:

2x²-3x+2=ax+2
ab hier hängts...
Kann mir jemand weiterhelfen wie ich die Gleichung richtig umforme?
mfg

13.03.2009, 12:04

Gualtiero

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RE: Gleichung umformen
Vorerst einmal ein paar Gedankenansätze:
So sieht der Graph der Kurve aus.

[attach]10044[/attach]
Bestimme den Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse und überprüfe, ob Deine Gerade auch durch diesen Punkt geht.

Gualtiero

13.03.2009, 12:19

Berti-82

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Schnittpunkt mit der y-Achse von f(x)=2x²-3x+2
setze x=0
P(0;2)

Schnittpunkt mit der y-Achse von g(x)=ax+2
setze x=0
Q(0;2)

Die beiden Funktionen schneiden im selben Punkt die y-Achse.
Also kann ichschon mal die Passante ausschließen.
Jetzt hängt es ja von der Steigung von g(x) ab ob es sich un eine Sekante oder Tangente handelt oder?

13.03.2009, 13:23

Gualtiero

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Zitat:

Jetzt hängt es ja von der Steigung von g(x) ab ob es sich un eine Sekante oder Tangente handelt oder?

Richtig.
Wie groß muß a sein, dass die Gerade eine Tangente ist?

Zur Geraden gibt es noch etwas zu sagen. Unabhängig davon, wie groß a ist, geht sie immer durch den Punkt, den Du errechnet hast.

Gualtiero

13.03.2009, 13:38

Berti-82

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An der Stelle komm ich leider nicht weiter.
Um eine Tangente handelt es sich wenn D=0 in der PQ-Formel ist, um eine Sekante wenn D>0 ist.
Wenn ich beibe Funktionen gleichsetze, müsste ich ja auf die Lösung kommen.

2x²-3x+2=ax+2
...und ab hier komm ich nicht weiter...
Eigentlich müsste ich ja auf die Normalform f(x)=x²+px+q kommen...

13.03.2009, 14:04

Gualtiero

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OK, dann gehen wir so vor, wie Du es in der Schule gemacht hast.
Du kannst ax + 2 von Deiner Gleichung auf die linke Seite bringen und dann alles wie in einer quadratischen Gleichung anordnen.

$\begin{eqnarray*} 2\cdot x^2-3\cdot x-a\cdot x+2-2=0 \end{eqnarray*}$

Kommst Du damit weiter?

Gualtiero

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13.03.2009, 14:29

Berti-82

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2x²-3x-ax=0 |:2
x²-1,5x-(ax)/(2)=0

Ich glaub ich hab da irgendwo ein Fehler drin... verwirrt

verwirrt

13.03.2009, 14:54

Gualtiero

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Nein, Fehler ist keiner drin. Nur etwas kompliziert aufgeschrieben.
So wäre es klarer:

$\begin{eqnarray*} x^2-\frac{3}{2} \cdot x-\frac{a}{2}\cdot x=0 \end{eqnarray*}$

Wenn Du jetzt x im linearen Term hervorhebst, bekommst Du:
$\begin{eqnarray*} x^2-\frac{3+a}{2} \cdot x=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst Du die quadratische Gleichung lösen und die Determinante Null setzen; dann wäre a so bestimmt, dass die Gerade eine Tangente ist.

Gualtiero

13.03.2009, 15:12

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Gualtiero
Determinante Null setzen

Du meinst sicher die Diskriminante Big Laugh

Big Laugh

13.03.2009, 15:20

Berti-82

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hmmm...

verwirrt

Es müsste doch eigentlich zwei Möglichkeiten geben a zu bestimmen.
Wir sagten ja Passante fällt weg.
Nun hängt es ja von a ab ob es sich um eine Tangente oder Sekante handelt.
Da q aber jetzt gleich 0 ist, kann das ja nicht stimmen.
Aber laut dem Lösungsheft gibt es zwei Lösungen:
a=-3 Tangente
a... Sekante (kann den Wert leider nicht lesen da die Lösungen nur in schlechter Qualität abfotografiert sind)

13.03.2009, 15:51

Gualtiero

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Zitat:

Du meinst sicher die Diskriminante Big Laugh

Big Laugh

Danke, Q-fLaDeN und sorry Berti-82.
Für den Fall einer Tangente habe ich auch a = -3 raus.
Was geschieht in den Fällen, für die gilt: $\begin{eqnarray*} a \neq -3 \end{eqnarray*}$
Du kannst die Graphik zu Hilfe nehmen und überlegen: Wenn Du a von -3 zu ändern beginnst, wird aus der Tangente einmal eine Sekante, die die Parabel in zwei Punkten schneidet.
Wie steht die Gerade, wenn a im Unendlichen liegt? Wieviele Schnittpunkte mit dem Graphen gibt es dann?

Ich muss jetzt leider bis zum Abend weg, schaue dann aber noch einmal vorbei.

Gualtiero

13.03.2009, 16:07

TommyAngelo

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alternativer Weg: ableiten

13.03.2009, 17:54

Berti-82

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ich glaub, ich habs nun...
$\begin{eqnarray*} x=\frac{3+a}{4} \pm \sqrt{\frac{(3+a)²}{4}} \end{eqnarray*}$
also handelt es sich bei a=-3 um eine Tangente
und bei a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ -3 um eine Sekante
Aber wie meinst du das mit wenn a im unendlichen liegt?
Das versteh ich nicht ganz. verwirrt

verwirrt

13.03.2009, 19:22

Gualtiero

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@Berti-82
Sehr gut, Du hast es verstanden.
Was ich über die Steigung gesagt habe, wenn a unendlich ist, kannst Du wieder vergessen oder nur im Hinterkopf behalten. Denn wahrscheinlich habt Ihr das noch nicht durchgenommen.
Nur soviel, wenn Du darüber nachdenken willst: Das a in Deiner Geraden ist die Steigung und gleichzeitig der Tangens des Steigungswinkels. Wenn der Winkel 90° ist, gibt es ein Problem. Da ist der Tangens nicht definiert, weil Du ja rechnen müßtest: tan90° = sin90°/cos90° = 1/0. . . . und diese Operation ist ja in der Mathematik nicht erlaubt. Man kann für diesen Ausnahmefall sagen: der Tangens für 90° liegt im positiven Unendlichen. Das ist aber keine Zahl, mit der man rechnen kann.
Jedenfalls ist die Gerade dann identisch mit der y-Achse und es gibt dann nur einen Schnittpunkt mit der Parabel. Den hast Du ja schon ausgerechnet.

In der pq-Formel ist im Ausdruck unter der Wurzel ein kleiner Fehler, richtig lautet sie so:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{3+a}{4} \pm \sqrt{\begin{pmatrix}\frac{3+a}{4}\end{pmatrix} ^2} \end{eqnarray*}$

Gualtiero

13.03.2009, 19:56

Berti-82

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@Gualtiero

Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast!

13.03.2009, 20:07

Gualtiero

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@Berti-82
Gern geschehen. Hauptsache, Du hast was dazugelernt.

Dann bis zum nächsten Mal
Gualtiero

23.03.2009, 12:14

Berti-82

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Muss noch ma ganz blöd wg meiner Diskriminante fragen.
Wir sagten ja:

$\begin{eqnarray*} p=-\frac{3+a}{2} \end{eqnarray*}$

warum steht dann unter der Wurzel

$\begin{eqnarray*} (\frac{3+a}{4})² \end{eqnarray*}$ ?

Mein p ist ja negativ...

Müsste unter der Wurzel meiner pq Formel nicht

$\begin{eqnarray*} (\frac{-3+a}{4})² \end{eqnarray*}$ stehen?

23.03.2009, 13:13

Q-fLaDeN

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Hallo,

Zitat:

Original von Berti-82
Wir sagten ja:

$\begin{eqnarray*} p=-\frac{3+a}{2} \end{eqnarray*}$

warum steht dann unter der Wurzel

$\begin{eqnarray*} (\frac{3+a}{4})² \end{eqnarray*}$ ?

Mein p ist ja negativ...

Weil

$\begin{eqnarray*} \left(\frac p 2 \right)^2 = \left(\frac{-\frac{3+a}{2}}{2}\right)^2 = \left(-\frac{3+a}{4}\right)^2 = (-1)^2 \cdot \left(\frac{3+a}{4}\right)^2 = \left(\frac{3+a}{4}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Berti-82
Müsste unter der Wurzel meiner pq Formel nicht

$\begin{eqnarray*} (\frac{-3+a}{4})² \end{eqnarray*}$ stehen?

Nein, das schon ganz und gar nicht.

Denn

$\begin{eqnarray*} -\frac{3+a}{4} = \frac{-3-a}{4} \end{eqnarray*}$

23.03.2009, 13:29

Berti-82

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$\begin{eqnarray*} -\frac{3+a}{4}= \frac{-3-a}{4} \end{eqnarray*}$

Stimmt, das ist ja nur eine andere Schreibweise.
Danke, dass du mir das nochmal so ausfürlich erklärt hast.

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