Beweis gültig ? |
| 14.03.2009, 10:06 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis gültig ? Angenommen es gibt eine bijektive Abbildung f von X auf P(X). Für gewisse x gilt, dass x in f(x) liegt für andere nicht. Bilden wir die Menge . Nun ist U eine Teilmenge von X und element von P(X). Es gibt also ein u Element X mit f(u) = U. Man stellt sich die Frage ob u in U liegt oder nicht. Es gilt und . Daher ein Widerspruch. Ist der Beweis allerdings gültig? Mit selber Konsequenz könnte man ja aus der Russelschen Antinomie folgern, dass das es keine Mengen gibt 
. Zumindest kommt mir das so vor da dieser Beweis in seiner Struktur so ähnlich ist ...Kann mir das jemand erklären ? lg |
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| 14.03.2009, 10:35 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Beweis ist vollkommen korrekt. Wo ist das Problem mit der Russellschen Antinomie? Man muss sich nur klar machen, dass man diese Menge auch wirklich bilden darf und dass das eine Menge ist. Das fällt dann aber in den Bereich der Mengenlehre. |
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| 14.03.2009, 10:51 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beweis gültig ? Ergänzung zu Mathespezialschüler: Aus der Russelschen Antinomie kann man nicht schließen, dass es keine Mengen gibt, sondern nur, dass, es eine spezielle Menge nicht gibt, nämlich eben die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Und diesen Schluss hat man tatsächlich gezogen. In der axiomatischen Mengenlehre wird die Bildung von Mengen durch Axiome reguliert. Und diese lassen die Bildung der Russelschen Menge nicht zu. |
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| 14.03.2009, 11:16 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist zwar korrekt - sieht aber zugegebenermaßen etwas merkwürdig aus. Ich würde es wie folgt machen, damit es schöner wird: Sei f eine Abbildung von X nach P(X). Man bilde nun U wie oben. Dann gibt es kein x aus U, so dass f(x) = U (mit Widerspruch beweisen). Genauso gibt es kein x außerhalb von U, so dass f(x) = U (wieder mit Widerspruch beweisen). Also kann f nicht einmal surjektiv sein. Und da f beliebig war, gibt es keine surjektive Abbildung von X nach P(X). EDIT: Ich weiß, dass es nur eine Umformulierung ist. Aber es sieht so IMHO besser aus. |
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| 14.03.2009, 11:43 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok danke, ich glaub eure Antworten beantworten meine Frage 
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| 19.04.2009, 20:38 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe mir diesen Beweis jetzt zufällig wieder mal angesehen. Dabei sind mir wieder einige Gedanken gekommen.
Nun könnte man aus dem gegebenen Beweis aber auch folgern, dass es keine so beschaffene Menge U gibt. Das Argument:
überzeugt mich nicht wirklich. Würde das nicht bedeuten, dass dieser Beweis nur dann richtig ist wenn gewisse Axiome für Mengen gelten ? Diese wurden aber nicht vorgestellt - daher halte ich den Beweis für "ungültig" . Ihr dürft mich nicht falsch verstehen. Ich zweifle nicht an der Richtigkeit der Aussage, ich kenne den Beweis auch in einer anderen Form, die sich nicht auf die Existenz einer Menge U stützt. Was meint ihr? Verliere ich mich nur in Details ? Nun fällt mir auch ein, dass man ja öfter die Existenz gewisser Mengen voraussetzt. Wer sagt das es diese gibt? Entsprechende Axiome gibt es in meinen Lehrbüchern jedenfalls nicht ... Nun ein Gedanke der diesen Post schon fast wieder unnötig macht
: 
Die Definition einer Menge ist, jetzt wo ich darüber nachdenke, schon gegeben - es muss sich lediglich um verschiedene Objekte handeln. Demnach ist U dann auch eine Menge allerdings ist die Russelsche Menge auch eine. So langsam glaube ich zu wissen woran ich mich gestört habe
a) Im Falle der Russelschen Antinomie (mit der naiven Definition einer Menge) entsteht ein Widerspruch, es gibt jedoch keine Annahme die man anzweifeln könnte d.h. ist es eine Antinomie. Bei vorliegendem Beweis gibt es jedoch sehr wohl eine Annahme die falsch sein könnte und daher dann auch als falsch angenommen wird. Dieser Unterschied war es den ich nicht bemerkt habe ... b) Die Definition einer Menge auf der dieser Beweis aufbaut ist offenbar nicht äquivalent zu jener welche in der Mengenlehre verwendet wird - sonst könnte man nicht sagen, dass es die russelsche Menge nicht gibt. Ich hoffe es stört euch nicht, dass ich meine Gedankengänge hier in einer derart unverarbeiteten Form poste aber nachdem ich das alles schon mal geschrieben habe will ich es nicht wieder löschen 
lg |
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| 19.04.2009, 21:08 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist richtig mit den Axiomen für Mengen. Es ist aber nicht verwunderlich, dass du keine Axiome der Mengenlehre in deinen Lehrbüchern findest. Das will man nämlich keinem Anfänger zumuten. In allen Anfängervorlesungen/-büchern geht man deshalb von einer naiven Mengenvorstellung aus und rechtfertigt dies dann erst später. Würde man sofort damit anfangen, hätte man sicher fast alle Studenten mit dem hohen Abstraktionsgrad vergrault. Es gibt nämlich tatsächlich Mengenaxiome. Verblüffend ist sogar, dass die ganze Mathematik auf wenigen Mengenaxiomen aufgebaut ist und man nur daraus alles folgert. Nach Russels Entdeckung hat man sich bemüht, solche Axiome zu 'finden' und ein Grundgerüst für die Mathematik aufzubauen, mit dem die Antinomie nicht mehr auftritt. Es gibt mehrere solcher Axiomensysteme, das wohl bekannteste ist das von Zermelo und Fraenkel. Für mehr Informationen und ein paar einführende Erklärungen kann z.B. Wikipedia helfen. Für genauere Erklärungen findet man natürlich auch etliche Bücher über dieses Thema. |
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| 19.04.2009, 22:20 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke. Bei Gelegenheit werde ich mich wohl mal der Mengenlehre widmen
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