Allg. Frage zu Stetigkeit

14.03.2009, 12:15	Jono	Auf diesen Beitrag antworten »
Allg. Frage zu Stetigkeit hallo, Wie kann ich die Stetigkeit einer Funktion beweisen? Meine eigene Überlegung war, dass ich den Grenzwert sowohl von oben, als auch von unten betrachte und, wenn diese beiden identisch sind und ungleich unendlich, erkennt man ja bereits, dass die Funktion stetgi fortgesetz werden kann. Also Stetigkeit,wenn $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0, x<x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0, x>x_0} f(x) \neq \infty \end{eqnarray}$ Aber in der Uni wurde mir gesagt, dass diese Methode falsch sei und ich gefälligst überprüfen soll, dass $\begin{eqnarray} \lim_{h \to x_0} f(h) - (f(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ Jetzt frage ich mich, was ist an der 1. Methode falsch? und warum ist die zweite Methode richtig? Mann weiß den Wert für f(x_0) doch noch gar nicht (möglicherweise gibt es ihn gar nicht)! Vielleicht weiß ja jmd. Rat Viele liebe Grüße, Jono
14.03.2009, 15:08	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Dein Kriterium ist aus folgendem Grund falsch: Der Begriff Stetigkeit bezieht sich immer auf Elemente der Definitionsmenge, d. h., man kann nicht die Stetigkeit an einer Definitionslücke o. ä. untersuchen. Du verwechselst anscheinend Stetigkeit mit stetiger Fortsetzbarkeit. Wenn es um die Stetigkeit bei einer Stelle x0 geht, dann ist also vorausgesetzt, dass f(x0) existiert. Bei Deiner Untersuchung betrachtest Du aber nur die Argumente links und rechts von x0 und prüfst, ob dort die Grenzwerte identisch sind -- x0 selbst schließt Du dabei aus. Deswegen kann es passieren, dass Dein Kriterium zwar erfüllt ist, aber f(x0) nicht identisch mit dem links- und rechtsseitigen Grenzwert ist. f ist dann nicht stetig. Als Beispiel: $\begin{eqnarray} f\colon\, x \mapsto \begin{cases}x, & \textrm{falls } x \neq 0 \\ 1& \textrm{falls }x = 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} \lim_{x \nearrow 0, x \neq 0} f(x) = \lim_{x \searrow 0, x \neq 0} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ Aber weil der gemeinsame Grenzwert nicht mit f(x0) übereinstimmt, ist die Funktion nicht stetig. Du müsstest also zusätzlich fordern: $\begin{eqnarray} \lim_{x \nearrow 0, x \neq 0} f(x) = \lim_{x \searrow 0, x \neq 0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray}$ Und das ist genau die Definition der Uni -- nur in anderer Schreibweise. Denn dass links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen, kann man ja kürzer so formulieren: Der Grenzwert von f für x --> x0 existiert. Man muss dann eben nur noch auch sagen, dass er mit f(x0) übereinstimmt. Übrigens: Es gibt zwei unterschiedliche Definitionen des Grenzwerts einer Funktion. Einmal $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} f(x) = \gamma \end{eqnarray}$ gilt genau dann, wenn für jede gegen x0 konvergierende Folge $\begin{eqnarray} (x_0)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_n \in D_f \underbrace{\setminus \{ x_0 \}}_{\textrm{!!}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ für die zugehörige Funktionswertefolge gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}f(x_n) = \gamma \end{eqnarray}$ Und zum zweiten $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} f(x) = \gamma \end{eqnarray}$ gilt genau dann, wenn für jede gegen x0 konvergierende Folge $\begin{eqnarray} (x_0)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_n \underbrace{\in D_f}_{\textrm{!!}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ für die zugehörige Funktionswertefolge gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}f(x_n) = \gamma \end{eqnarray}$ Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(...renzwertbegriff Beim ersten wird also die Stelle x0 selbst nicht in die Untersuchungen mit einbezogen. Deswegen muss man Stetigkeit so definieren: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray}$ Beim zweiten wird auch x0 selbst untersucht, also reicht die folgende Definition: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} f(x) \end{eqnarray}$ existiert. Dass der Grenzwert mit f(x0) identisch ist, ergibt sich automatisch. Denn wenn man $\begin{eqnarray} (x_n)_{n \in \mathbb{N}} := (x_0)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ betrachtet, erhält man $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} f(x_0) = f(x_0) \end{eqnarray}$ . Und weil der Grenzwert von f für x --> x_0 existiert, gilt dann $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray}$
14.03.2009, 15:23	Jono	Auf diesen Beitrag antworten »
boah! Vielen dank für die sehr einleuchtende und ausführliche Erklärung. Sie das bringt das Problem genau auf den Punkt, deshalb auch keine weiteren Frangen Vielen Dank nochmal

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