Differential einer Matrixfunktion

14.03.2009, 13:03	Verwirrter Student	Auf diesen Beitrag antworten »
Differential einer Matrixfunktion Hallo an alle! Ich studiere Mathe und habe folgende Übungsaufgabe: Zeige, dass das Differential von $\begin{eqnarray} f(A)=A^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} df(A)H=-A^{-1}HA^{-1} \end{eqnarray}$ ist. Was ich nun nicht verstehe: wo kommt das H hier her und wozu brauche ich es?? Würde mir echt total weiterhelfen, wenn das jemand schreiben könnte. Vielen Dank auf alle Fälle!!
14.03.2009, 14:43	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal bist du dran zu erklären, zwischen welchen Räumen das f operiert. Solltest du als Mathematiker eigentlich wissen.
14.03.2009, 15:20	Verwirrter Student	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, dass hab ich vergessen abzutippen: f: GL(n,R)-->GL(n,R) Ich hoffe, dass mir jetzt jemand helfen kann. Nochmal sorry!!
14.03.2009, 17:11	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das soll andeuten, dass du an der Stelle $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bist. Anders geschrieben steht da $\begin{eqnarray} (\dd f)_A(H)=... \end{eqnarray}$ also "das Differential von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ eingesetzt".
15.03.2009, 01:30	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir mal an wir haben eine quadratische invertierbare Matrix X mit $\begin{eqnarray} X_{ij} = f_{ij}(t) \end{eqnarray}$ wobei alle f_ij differenzierbar sind. Dann gilt : $\begin{eqnarray} \frac{d X^{-1}}{dt} = -X^{-1}\frac{dX}{dt}X^{-1} \end{eqnarray}$ Dies zeigt man sehr schnell in dem man den Ansatz $\begin{eqnarray} I = X^{-1}X \Rightarrow \frac{dI}{dt} = \frac{dX^{-1}X}{dt} \Leftrightarrow 0 = \frac{dX^{-1}X}{dt} \end{eqnarray}$ wählt und dann die Kettenregel/Produktregel benutzt und ein wenig umstellt. Vielleicht klappts bei Deiner Aufgabe ja ähnlich. (kann ich dir aber nicht versprechen nur ist es jetzt schon zu spä um genauer drauf zu schauen ).
15.03.2009, 11:10	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mazze: Du hast die Aufgabe nicht verstanden... @Verwirrter Student: Nach einem Blick in dein Skript solltest du eigentlich wissen, dass du folgendes zeigen musst: $\begin{eqnarray} (A+H)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}HA^{-1} + R(H), \end{eqnarray}$ für kleine H, wobei $\begin{eqnarray} \lim_{H\to 0}\,\frac{R(H)}{\\|H\\|} = 0. \end{eqnarray}$
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