Endliche Gruppe

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eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Gruppe
Hallo!

Ich soll folgendes zeigen:
"Sei G eine endliche Gruppe, dann gilt
"

Was ich mir bis jetzt überlegt habe: Da alle Elemente der Gruppe verknüpft, sind natürlich auch alle inverse Elemente dabei. Dadurch neutralisieren sich alle Elemente.

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich das formal richtig zeige.

Ich habs so versucht:

Seien
Weil es eine Gruppe ist, existieren zu allen Elementen auch die inversen Elemente: . Wobei und natürlich auch mit . Ich meine damit, dass die inversen Elemente auch Potenzen von a sein müssen. Und jetzt sollte ich noch zeigen, dass sie sich alle neutralisieren. Wie mache ich das?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wer neutralisiert wen? Das ergibt irgendwie nicht unbedingt Sinn, was du da schreibst.

Die Aussage der Aufgabe ist ein Spezialfall des Satzes von Lagrange, siehe Wikipedia o.Ä..
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

Der Satz von Lagrange lautet ja so:
Sei G eine Gruppe, , dann gilt


Wie soll ich das hier anwenden?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Insbesondere sagt er aus, dass die Ordnung einer Untergruppe die Gruppenordnung teilt. Und das wendest du jetzt auf die von erzeugte zyklische Untergruppe an.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie du das meinst. unglücklich

Wir wissen doch garnicht, dass die von a erzeuge Untergruppe zyklisch ist. verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Die von einem Element erzeugte Untergruppe ist immer zyklisch.
 
 
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

So sollte es stimmen:

Laut Lagrange gilt:

Daraus folgt:




Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Jup, das ist richtig.
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