Integral: wie substituieren?

15.03.2009, 10:05

Komand

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Integral: wie substituieren?

Morgen, hab mich grad aus dem Bett gequält und an meinem Schreibtisch lauert jetzt dieses Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~\sqrt{1+2x^2}~dx \ \end{eqnarray*}$

Wer kann mir ein Tipp für die Substitution geben? (ganze Wurzel oder nur Radient oder gibt es gar eine dritte Möglichkeit?)

viele Grüße, Oliver

15.03.2009, 12:55

Calvin

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Es geht mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{\sqrt{2}}\sinh{u} \end{eqnarray*}$

15.03.2009, 13:16

Komand

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ist nicht dein Ernst, oder? Big Laugh

Big Laugh

wie hast du den gefunden?

oliver

15.03.2009, 14:11

Calvin

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Doch, das ist mein Ernst Big Laugh

Big Laugh

Integrale der Art $\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{a+bx^2}\,\dx \end{eqnarray*}$ kann man mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{\frac{a}{b}}\sinh{u} \end{eqnarray*}$ lösen. Damit vereinfacht sich zunächst der Term unter der Wurzel, so dass man die Wurzel ziehen kann.

15.03.2009, 14:16

Komand

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ich hätts ahnen können: unser mathe Lehrer

Lehrer

schwebt woanders, wie soll das ein normaler Maschinenbauer wissen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

jedenfalls Danke!

oliver

ps: einfacher gehts wirklich nicht?

15.03.2009, 14:24

Calvin

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Mir fällt spontan nichts anderes ein. Das heißt aber nicht, dass es eine einfachere Möglichkeit gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hier durfte ich bei einem ähnlichen Integral (mit ähnlicher Substitution) eine anschauliche Lösung kennenlernen.

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15.03.2009, 15:12

Komand

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habs jetzt mal probiert, hänge aber wieder fest: nach der Substitution steht in der Wurzel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{0.75+0.25(e^(2u) +e^(-2u) )} \end{eqnarray*}$ ; (soll e^2u und e^-2u) heißen)

jetzt kann ich noch $\begin{eqnarray*} dx= \frac{1}{\sqrt{2}} sinhudu \end{eqnarray*}$ einfügen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{0.75+0.25(e^(2u) +e^(-2u) )} \frac{1}{\sqrt{2}} (o.5(e^u +e^(-u))du \end{eqnarray*}$

und nu? unglücklich

unglücklich

15.03.2009, 16:03

Laylu

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Du machst es dir viel zu kompliziert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Verwende das:
$\begin{eqnarray*} \cosh^2(x)- \sinh^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

15.03.2009, 16:17

Komand

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hi, sehe ehrlich gesagt nicht mal im ansatz was mir das bringen soll, liegt vlt. auch daran dass ich nicht weiß, wo du das einsetzen willst? schon ganz am anfang? -toll, dann hab ich doch den cosh drin und noch nichts gewonnen, oder etwa doch?

bitte noch weiter ausführen!!

oliver

15.03.2009, 16:19

jester.

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$\begin{eqnarray*} \dd x \neq \frac{1}{\sqrt{2}} \sinh(u)~\dd u \end{eqnarray*}$

Nachtrag: Mit dem richitgen dx ergibt sich eine erhebliche Vereinfachung des Integrals. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.03.2009, 16:25

Laylu

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Mit der obigen Gleichung ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\sinh^2(u)} = \sqrt{\cosh^2(u)} =\cosh(u) \end{eqnarray*}$

Ich habs zwar nicht durchgerechnet, aber das sollte das ganze erheblich vereinfachen...

Gruß
Laylu

15.03.2009, 16:43

Komand

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Zitat:

Mit der obigen Gleichung ergibt sich: $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\sinh^2(u)} = \sqrt{\cosh^2(u)} =\cosh(u) \end{eqnarray*}$ Ich habs zwar nicht durchgerechnet, aber das sollte das ganze erheblich vereinfachen... Gruß Laylu

oh Mist, war ich da blind! vielen Dank! ok, dann suche ich jetzt noch das richtige du!

meld mich noch mal, oliver

15.03.2009, 18:58

Komand

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so, jetzt brauche ich noch ein Mal eure Hilfe. Hab das jetzt recht weit auflösen können und bin jetzt direkt vor der Rücksubstitution. Dazu muss ich $\begin{eqnarray*} x= \frac{1}{\sqrt{2}} sinh (u) \end{eqnarray*}$ nach u auflösen und weiß nicht was ich mit der (Wurzel 2) machen soll?

Der asinh geht ja normalerweise mit $\begin{eqnarray*} asinh (x)= ln(x+\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Leider stimmt $\begin{eqnarray*} asinh (\sqrt{2}x)= ln(\sqrt{2}x+\sqrt{2x^2+1}) \end{eqnarray*}$ nicht.

einmal (hoffentlich!) bitte noch helfen! smile

smile

oliver

15.03.2009, 22:48

Laylu

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Eigentlich musst du ja nur dein dx anpassen und deine Intervallgrenzen.

Das dx ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cosh(u) du \end{eqnarray*}$

(das erhält man, in dem man die Gleichung $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sinh(u) \end{eqnarray*}$ nach u ableitet)

Deine alten Intervallgrenzen sind ja 0 und 2.

D.h. du musst die Gleichungen
$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sinh(u) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 2=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sinh(u) \end{eqnarray*}$

jeweils nach u auflösen, um die neuen Grenzen zu berechnen.

Insgesamt kommt man dann auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{Arsinh(2\sqrt{2})}~\cosh^2(u)~du \end{eqnarray*}$

Und ich fürchte da musst du dann noch partielle Integration machen...

15.03.2009, 23:23

Laylu

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Hier mal noch der Anfang der partiellen Integration. Ich hoff mal, ich hab mich nirgends vertan...

$\begin{eqnarray*} a:=Arsinh(2\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~\cosh^2(u)~du = \cosh(a)\cdot \sinh(a)-\cosh(0)\cdot \sinh(0)- \int_{0}^{a}~\sinh^2(u)~du \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~\cosh^2(u)~du = \cosh(a)\cdot \sinh(a)- \int_{0}^{a}~\cosh^2(u)-1~du \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \int_{0}^{a}~\cosh^2(u)~du = \cosh(a)\cdot \sinh(a)+a \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~\cosh^2(u)~du = \frac{1}{2} ( \cosh(a)\cdot 2\sqrt{2}+a) \end{eqnarray*}$

Gruß
Lydia

16.03.2009, 07:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Calvin
Mir fällt spontan nichts anderes ein. Das heißt aber nicht, dass es eine einfachere Möglichkeit gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man kann es auch mal mit $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2 \sqrt 2} \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$ versuchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.03.2009, 19:14

Komand

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Hey Lydia,

erstmal vielen Dank, dass du dir so ein Haufen Arbeit mit meinem Integral machst!! Leider fürchte ich, dass wir noch nicht am Ende sind, denn mir ist ein Fehler aufgefallen in deiner Rechnung (..das Ergebnis was sich bei der momentanen "Lösung" ergibt, stimmt zudem nicht mit der MuLö überein):

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~sinh^2(u)~du \neq \int_{0}^{a}~cosh^2(u)-1~du \end{eqnarray*}$

richtig müsste es imho heissen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~sinh^2(u)~du = \int_{0}^{a}~1-cosh^2(u)~du \end{eqnarray*}$

das Problem nun: durch das Doppelminus wird das cosh-Integral positiv, hebt sich damit raus traurig

traurig

bitte helfen!

oliver

16.03.2009, 19:15

Komand

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Zitat:

Man kann es auch mal mit $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2 \sqrt 2} \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$ versuchen. Augenzwinkern

puuh, noch so eine "leichte" Substitution, versuch ich erst wenn das andere gänzlich gescheitert ist. trotzdem danke! smile

smile

16.03.2009, 19:22

Komand

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oh, komando zurück! Lydia, ich sehe gerade, dass es beim sinh/cosh anders als beim sin/cos ein Minus statt einem plus zwischen den Quadraten hat, sorry für meinen gefundenen "Fehler". Also, dann bin ich entweder zu blöd zum einsetzen oder der Wurm sitzt tiefer.

Also das Integral ist in meiner Aufgabe ein Doppelintegral und wird dann noch über unabhängiges phi von 0 nach 2Pi integriert. Entsprechend komme ich, wenn ich noch 2Pi vorne dran schreibe auf ein Ergebnis über 30, richtig wäre aber ~20.

bitte setz doch du mal ein und multiplizier mit 2pi.

oliver

16.03.2009, 19:33

Laylu

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Hi,
also ich komm auf ungefähr 22,77.

Hast du vielleicht den Faktor vorm Integral vergessen?
Also von:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{Arsinh(2\sqrt{2})}~\cosh^2(u)~du \end{eqnarray*}$

16.03.2009, 19:37

Komand

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Zitat:

Hast du vielleicht den Faktor vorm Integral vergessen?

natürlich

Hammer

also ich schäm mich schon fast auf das lösungsblatt meinen namen zu schreiben Big Laugh

Big Laugh

VIELEN DANK!!

schönen abend, oliver

16.03.2009, 19:39

Laylu

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Hauptsache, jetzt ist alles klar.
Mich hat vor paar Wochen mein Integral-Übungsblatt auch fast in den Wahnsinn getrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

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