Eingeschlossene Fläche zwischen 3 Graphen/Hilfe Ansatz

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15.03.2009, 15:43	Crip	Auf diesen Beitrag antworten »
Eingeschlossene Fläche zwischen 3 Graphen/Hilfe Ansatz Hallo, es wäre sehr nett wenn ihr mir helft. Folgende Aufgabe : Gesucht ist der Inhalt der Fläche A http://img15.imageshack.us/img15/1129/unbenanntzmp.th.jpg Bei mir scheiterts schon im Ansatz. Ähnliche Aufgaben mit 2 Graphen sind kein Problem, aber wie mache ich das mit 3 ? Erstmal brauch ich ja die Schnittpunkte, also muss ich jede mit jeder gleichsetzen oder ? Also : 1. 2x = 2/x^2 Arbeitsauftrag : x^2 2x x^2 = 2 Wie lös das denn dann auf ? x(2x) =2 2x = 2 Arbeitsauftrag : geteilt durch 2 x=1 x=1 kommt aber nicht hin ? wo liegt mein Fehler ?
15.03.2009, 16:14	Laylu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte x=1 nicht stimmen? Setz doch einfach nochmal in deine Gleichung oben ein, da kommt auf beiden Seiten 2 raus... Und genauso rechnest du noch den Schnittpunkt zwischen y=2/x² und y=x aus. Und dann kannst du dir über die Integrale Gedanken machen
15.03.2009, 16:16	Crip	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ich hatte mir das gezeichnet und da hätte es nicht gepasst aber ist ja gut wenns richtig ist. 2. x = 2/x² x^3 = 2 x= 3.Wurzel aus 2 x= 1,25 So was wäre der nächste Schritt ? Jetzt brauch ich ja eigentlich eine Differenzfunktion, nur wie mach ich das mit 3 Graphen ?
15.03.2009, 16:21	Laylu	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeichne dir in deine Skizze mal eine Senkrechte bei x=1. Dann siehst du, dass du die Fläche in zwei Teilflächen unterteilen kannst, die beide nur von 2 Funktionen gebildet werden. Das heißt du kannst so rechnen, wie du es gewohnt bist. Und am Ende addierst du die beiden Ergebnisse. Achja und ich würde $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ erstmal stehen lassen und nicht runden.
15.03.2009, 16:28	Crip	Auf diesen Beitrag antworten »
Also einmal mit 2x und x und einmal mit x und 2/x^2 ?
15.03.2009, 16:32	Laylu	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und deine Schnittpunkte verraten dir die Intervallsgrenzen.
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15.03.2009, 16:40	Crip	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mein Intervall ist dann I [0;1 ] oder ? 1. Differenzfuntion 2x und x h(x) = 2x -x h(x) = x Integrieren (Schwierig darzustellen am Computer A1 = Integral 0;1 h(x)dx = [1/2x^2] = 0 - ( 0,5) = -0,5 Ist das richtig ?
15.03.2009, 16:54	Laylu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Intervallgrenzen falschrum eingesetzt, die obere Grenze wird zuerst eingesetzt, dann kommt man auf A1=0,5
15.03.2009, 16:59	Crip	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, stimmt, danke. Differenzfunktion x und 2/x^2 h(x) = x- (2/x^2 ) Oho jetzt hab ich ein Problem, die Stammfunktion von 2/x^2 Ich würde jetzt sagen es ist 1/x^3 ?
15.03.2009, 17:08	Laylu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das stimmt nicht. $\begin{eqnarray} \frac{2}{x^2} = 2\cdot x^{-2} \end{eqnarray}$ Dann kannst du genauso integrieren, wie du es bei einem positiven Exponenten auch machen würdest. Also den Exponent um 1 erhöhen. (Das heißt aus -2 wird -1!) Und durch den neuen Exponenten dividieren.
15.03.2009, 17:17	Cripp	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm also ist die Stammfunktion so : h(x) = x- (2/x^2 ) ---> Stammfunktion : 1/2x^2 - ( -2* x^-1 ) So ?
15.03.2009, 17:20	Laylu	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir nochmal deine Skizze an. 2/x² ist die obere und x die untere Funktion. Deshalb solltest du das gerade andersrum machen, sonst kommst du auf eine negative Fläche. Aber integriert hast du richtig, du musst es also grad noch umschreiben.
15.03.2009, 17:33	Cripp	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. h(x) = (2/x^2 ) - x Integrieren $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1,25}~h(x)~dx = [ -2x^{-1}-\frac{1}{2}x^{2} ]_{0}^(1,25) = -1,6 -0,78 = -2,38 \end{eqnarray}$
15.03.2009, 17:37	Laylu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die untere Grenze ist 1! Und eigentlich ist es schöner, wenn du erst ganz am Ende rundest, also wenn du mit $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ weiterrechnest anstatt mit 1,25.
15.03.2009, 17:49	Achla	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohh stimmt, da hätte ich selber draufkommen müssen... -2,38 -(-2-0,5) = 0.12 Und jetzt addieren : 0.12 + 0,5 = 0.62 Kriegst du das auch raus ?
15.03.2009, 17:52	Laylu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jupp, das hab ich auch raus. bzw genau ist es: $\begin{eqnarray} \frac{-3\cdot \sqrt[3]{4}+6 }{2} \end{eqnarray}$
15.03.2009, 17:53	Cripp	Auf diesen Beitrag antworten »
Super vielen vielen Dank !
15.03.2009, 17:57	Gast102	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, ihr habt die Stammfunktion von 2/x^2 falsch gemacht.
15.03.2009, 19:20	t_	Auf diesen Beitrag antworten »
hi achla, ich habe die flächen-integrale anders gebildet, als alternative. (siehe skizze) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{Pl1}~{l1(x)}~dx + \int_{Pl1}^{Pl2}{f(x)}~dx -\int_{0}^{Pl2}~{l2(x)}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~2x~dx + \int_{1}^{\sqrt[3]{2}}~\frac{2}{\sqrt[3]{2}}~dx-\int_{0}^{\sqrt[3]{2}}~x~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =[x^{2}]_{0}^1 + 2[-\frac{1}{x}]_{1}^{\sqrt[3]{2}}- \frac{1}{2}[x^{2}]_{0}^{\sqrt[3]{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =1^{2} + 2 (-\frac{1}{\sqrt[3]{2}} -(-1))-\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =3-\frac{2}{\sqrt[3]{2}}-\frac{\sqrt[3]{2}^{2}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =0,6189FE \end{eqnarray}$ gruß t_

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