Rechenschritt bei Induktion

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15.03.2009, 18:25

Der Indukator

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Rechenschritt bei Induktion

Hallo, ich rechne gerade eine Induktionsaufgabe, verstehe aber den letzten Zusammenfassungsschritt nicht (grün).

15.03.2009, 18:37

IfindU

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RE: Rechenschritt bei Induktion
Ich habs wohl nen bisschen kompliziert gemacht aber so funktioniert es:
Erstmal (n+1)x^(n+1) ausgeklammert, den Term vereinfacht und wieder ausmultipliziert. x ausgeklammert, und dann noch -x^(n+1).

15.03.2009, 18:37

Felix

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Es wurde einfach das Produkt der oberen Zeile ausgerechnet und anschließend vereinfacht. Zum Schluss halt noch x herausgehoben ...

Was genau verstehst du daran nicht ?

lg

15.03.2009, 20:42

Der Indukator

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Also der erste Schritt nach der Induktionsvoraussetzung (IV) lautet ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x-1)²}*(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1)+(n+1)x^{n+1} \end{eqnarray*}$

Dann wurde ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x-1)²}*nx^{n+1} - \frac{x}{(x-1)²}*(n+1)x^n + \frac{x}{(x-1)²}+(n+1)x^{n+1} \end{eqnarray*}$

Dann wird $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)²} \end{eqnarray*}$ ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)²}[nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x+(n+1)x^{n+1}*(x²-2x+1)] \end{eqnarray*}$

Jetzt im lezten Schritt weiß ich aber nicht mehr, was zusammengezogen wird damit man auf das Ergebnis kommt...

16.03.2009, 08:54

klarsoweit

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Löse erstmal den Ausdruck $\begin{eqnarray*} (n+1)x^{n+1} \cdot (x^2-2x+1)] \end{eqnarray*}$ auf.

16.03.2009, 15:50

Der Indukator

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Also...

$\begin{eqnarray*} (n+1)x^{n+1} \cdot (x^2-2x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (n+1)x^{n+1}*x² - (n+1)x^{n+1}*2x + (n+1)x^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (n+1)x^{n+3} - 2(n+1)x^{n+2} + (n+1)x^{n+1} \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich insgesamt ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)²}[nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x+(n+1)x^{n+3} - 2(n+1)x^{n+2} + (n+1)x^{n+1}] \end{eqnarray*}$

Jetzt vllt. $\begin{eqnarray*} (n+1)x^{n+1} \end{eqnarray*}$ ausklammern?:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{(x-1)²} [nx^{n+2} + x + (n+1)x^{n+1}*(-1+x²-2x+1)] \end{eqnarray*}$

Nun ein x rausziehen:

$\begin{eqnarray*} = \frac{x}{(x-1)²} [nx^{n+1} + 1 + (n+1)x^{n}*(x²-2x)] \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich es nun wieder ausmultiplieziere komme ich auf das falsche Ergebnis...

$\begin{eqnarray*} = \frac{x}{(x-1)²} [nx^{n+1} + 1 + (n+1)x^{n+2} - 2(n+1)x^{n+1}] \end{eqnarray*}$

Wo ist mein Fehler? unglücklich

16.03.2009, 15:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von Der Indukator
Jetzt vllt. $\begin{eqnarray*} (n+1)x^{n+1} \end{eqnarray*}$ ausklammern?:

Alternativ würde ich eher Terme mit gleichem x-Exponenten zusammenfassen.

16.03.2009, 16:17

Der Indukator

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Achsoooo, nun hab ich es, danke!!

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