Matrixexponentialfunktion

15.03.2009, 19:41

Maty

Matrixexponentialfunktion

Hallo.

Ich soll eine Matrixexponentialfunktion berechnen, nämlich

e^{AT} mit T=1 und $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 8 & 0 \\ -1/6 & 0 & 1/12 \\ 0 & -60 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt sind das alles sehr häßliche Werte und auf dem Papier komme ich zu nichts.

Ich kenne die Formel $\begin{eqnarray*} e^{At} = \sum_{k=0}^\infty A^k *\frac{t^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Ich habe mir die Mühe gemacht, sogar A^4 zu berechnen, leider ist das ungleich der Nullmatrix

$\begin{eqnarray*} A^4 = \begin{pmatrix}76/9 & 240 & 178/9 \\ -5 & - 1259/9 & - 37/3 \\ 890/3 & 8880 & 2363/3\end{pmatrix}*1/24 \end{eqnarray*}$

Wie berechne ich in diesem Falle die Matrixexp.funktion? Geht das überhaupt von Hand oder ist das nur mit Maschine möglich? Eben ein PC Programm steht mir nicht zur Verfügung.

Grüße und Danke vorab
Maty

16.03.2009, 08:56

klarsoweit

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RE: Matrixexponentialfunktion
Hier könnte eine Diagonalisierung der Matrix helfen.

16.03.2009, 12:29

WebFritzi

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Ja, schreibe

$\begin{eqnarray*} A = SDS^{-1} \end{eqnarray*}$

mit einer Diagonalmatrix D. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} e^A = Se^DS^{-1}, \end{eqnarray*}$

und e^D lässt sich leicht berechnen.

17.03.2009, 13:54

Maty

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Hallo ihr beiden.

@ klarsoweit

Ich bin ja immer für jeden Tipp dankbar, so auch bei dir

@ WebFritzi

Zitat:

Original von WebFritzi
Ja, schreibe

$\begin{eqnarray*} A = SDS^{-1} \end{eqnarray*}$

mit einer Diagonalmatrix D. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} e^A = Se^DS^{-1}, \end{eqnarray*}$

und e^D lässt sich leicht berechnen.

Vielen Dank für die sehr genaue Darstellung, damit kann ich auch etwas anfangen. Jetzt weiß ich, wonach ich suchen muss bzw. wie ich weitermachen muss.

Nur mit dem Stichwort "Diagonalisierung" wäre ich auf den Rest nicht gekommen.

Danke ihr beiden!

Maty

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