Minibeweis für die Einfachheit von A5?

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derBollen Auf diesen Beitrag antworten »
Minibeweis für die Einfachheit von A5?
Hallo,
ich gehe gerade Prüfungsprotokolle für Algebra I durch. Habt ihr eine Idee, ob (und wie) man die Einfachheit von schnell zeigen kann, wenn man vorraussetzt, dass die Kommutatorgruppe von selbst ist? Ich weiß, dass ist ein bisschen von hinten durch die Brust ins Auge, weil man ja normalerweise erst einmal die Einfachheit von für zeigt und damit dann zeigt, dass die Kommutatorgruppe wieder sein muss...

trotzdem wäre ich dankbar für einen Tipp, weil ich selbst finde keinen Weg...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minibeweis für die Einfachheit von A5?
Hallo Bollen,

Die Kommutatorgruppe ist doch der kleinste Normalteiler mit abelscher Faktorgruppe. Wenn Du also einen Normalteiler hast, dann ist die Faktorgruppe nicht abelsch. Aus Ordnungsgründen muss diese Faktorgruppe aber einen Normalteiler mit abelscher Faktorgruppe enthalten, dessen Urbild dann auch ein Normalteiler in ist.

Woher hast Du denn ? Ich hoffe, dass Du in der Prüfung keine Kommutatoren ausrechnen möchtest.

Gruß,
Reksilat
derBollen Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Kommutatorgruppe von ist meine ich nur den umgekehrten Schluss:
ist nicht abelsch (->Kommutatorgruppe ist nicht das neutrale Element) und einfach. Da die Kommutatorgruppe ein Normalteiler ist, bleibt ihr nichts anderes übrig, als selbst zu sein.

Ich habe bei deiner Antwort das Argument "aus Ordnungsgründen" nicht verstanden, kannst du das nochmal erläutern?

Gruß bollen

PS: Nein, wenn ich nicht explizit dazu gezwungen werde, werde ich keine Kommutatorgruppen ausrechnen Big Laugh

PPS: Ich glaube die Frage aus dem Protokoll war doch eher in dieser Reihenfolge, d.h. " einfach -> Kommutatorgruppe ist " gedacht.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

So schwer ist es auch nicht die Kommutatorgruppe auszurechnen. Wenn man einen Kommutator konstruiert, der ein Dreier der Form (abc) ist, dann hat man auch jeden beliebigen Dreier in der Kommutatorgruppe und diese erzeugen ja die . (Funktioniert bei allen alternierenden Gruppen.)

Es gibt aber noch mehr Beweise Augenzwinkern

Das mit den Ordnungsgründen bedeutet, dass Du Dir anschaust welche Ordnungen die haben kann und dann zeigst, dass es keine nichtabelschen einfachen Gruppen dieser Ordnung geben kann. Der Sylowsatz sollte hier hilfreich sein.

Hier musst Du als Gruppenordnung ja nur die Teiler von 60 nehmen, es ist aber auch eine beliebte Aufgabe alle Gruppen der Ordnung kleiner 60 zu untersuchen und zu zeigen, dass sie niemals nichtabelsch und einfach sein können.

Gruß,
Reksilat.
derBollen Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich mache mal eine Liste:
2 -> prim -> zyklische Gruppe -> abelsche Gruppe
3 -> prim -> zyklische Gruppe -> abelsche Gruppe
4 -> wenn es ein Element von Ordnung vier gibt -> zyklische Gruppe -> abelscheGruppe
wenn es kein Element der Ordnung vier gibt gibt es eines der Ordnung 2, das hat dann aber auch Index 2 und ist ein Normalteiler
5 -> prim -> zyklische Gruppe -> abelsche Gruppe
6 -> es gibt nur eine 3-Sylowgr und die ist dann Normalteiler
10 -> es gibt nur eine 5-Sylowgr und die ist dann Normalteiler
12 -> entweder es gibt 4 3-Sylowgr. und die enthalten dann 4*(3-1)=8 Elemente der Ordnung 3. Die vier übrigen Elemente bilden dann einen Normalteiler, weil ein Element der Ordnung zwei ist, wenn g ein Element der Ordnung 2 und p ein Element der Ordnung 3 ist.
Ansonsten gibt es nur eine 3-Sylowgr. und die ist dann Normalteiler
15 -> es gibt nur eine 5-Sylowgr., die ist NT
20 -> es gibt nur eine 5-Sylowgr., die ist NT
30 -> entweder es gibt 6 5-Sylowgr. und die enthalten 6*(5-1)=24 Elemente, und dann bilden die übrigen 6 Elemente einen NT, oder es gibt nur eine 5-Sylowgr. und die ist dann ein NT.

soweit so gut.
Vielen Dank!

gruß bollen
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

So weit so richtig.

Ein wenig eleganter wäre es aber, einen nichttrivialen Normalteiler zu nehmen und dann dessen Bahnen bei der Operation auf zu betrachten. Da die Bahnen alle gleich lang sind, gibt es nur zwei Möglichkeiten:

a) Fünf Bahnen der Länge 1. Dann muss aber sein
b) Eine Bahn der Länge 5. Dann ist 5 ein Teiler von

Jetzt kann man sich noch überlegen, weshalb weder eine 3- noch eine 5-Sylowgruppe in normal sein können, dazu ein wenig Sylowsatz und man ist auch fertig.

Gruß,
Reksilat.
 
 
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