Beispiel für vollständige Induktion nicht verstanden

16.03.2009, 14:21

theon

Beispiel für vollständige Induktion nicht verstanden

Hallo,

ich habe hier ein Beispiel für vollständige Induktion mit einer Ungleichung bei der ich die Schritte im Induktionsschritt nicht verstehe.

Vermutung: $\begin{eqnarray*} A(n) := n^2 \geq 2n + 1 \end{eqnarray*}$ gilt ab einem bestimmten n.

IA: A(n) gilt ab n = 3, da 9 >= 6 +1
IV A(k) gilt für ein festes aber beliebiges $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N, k \geq 3 \end{eqnarray*}$
IS: (jetzt kommen die Schritte die ich nicht nachvollziehen kann)
(k >= 3):

A(k) = " $\begin{eqnarray*} k^{2} \geq 2k+1 \end{eqnarray*}$ ist wahr"
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow k^{2} + (2k +1) \geq 2k + 1 + (2k+1) \end{eqnarray*}$ (1. Frage: wieso wird (2k+1) addiert ?)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (k+1)^{2} \geq 2k + 2 +2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (k+1)^{2} \geq 2(k+1) + 2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (k+1)^{2} \geq 2(k+1) + 1 \end{eqnarray*}$ (2. Frage: Wieso wird aus 2k 1?)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A(k+1) \end{eqnarray*}$ ist wahr

Ich hoffe ihr könnt mir helfen das zu verstehen.

16.03.2009, 15:09

Nightfall

Auf diesen Beitrag antworten »

1) (2k+1) wird auf beiden Seiten addiert, damit zunächst auf der linken Seite schonmal das gewünschte (k+1)² (Binomische Formel) steht.

2) aus 2k wird 1, da für $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} 2(k+1)+2k\geq2(k+1)+1 \end{eqnarray*}$ ist und damit die Ungleichung immernoch erfüllt ist und wir so gewünschte erhalten.

16.03.2009, 20:02

theon

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

Zitat:

Original von Nightfall
1) (2k+1) wird auf beiden Seiten addiert, damit zunächst auf der linken Seite schonmal das gewünschte (k+1)² (Binomische Formel) steht.

Heisst das, daß er auch irgendetwas anderes hätte addieren könnte (abgesehen, daß es nicht zu (k+1)² führt) und ich hätte die Aussage trotzdem beweisen können?

Ich habe die Aufgabe so ähnlich im Netz gefunden und da wird halt die ganze Ungleichung so umgeformt dargestellt, daß auf der rechten Seite null steht und dann wird anstelle von k der Term (k+1) eingesetzt (ist ja auch logisch im (IS) soll die Aussage ja für (k+1) bewiesen werden) und solange umgeformt, daß am Ende irgendwie k^2 >= 2 steht. Das hätte man hier doch auch machen können anstelle der Addition von (2k+1), oder?

Neue Frage »

Antworten »

Beispiel für vollständige Induktion nicht verstanden

Verwandte Themen