komplexe zahl hoch j

16.03.2009, 16:21

Cor

komplexe zahl hoch j

hi leute ich soll die komplexe zahl (1+j)^j berechnen.

ich hätte nu gesagt ich form 1+j um und erhalte (sqrt(2)*e^(j*pi/4))^j

dann äußere klammer eliminieren sqrt(2)^j * e^j²*pi/4 = sqrt(2)^j*e^-pi/4=sqrt(2)^j*0,456 so und hier komm ich nicht weiter ich bin so doch nicht fertig hab ja noch des hoch j bei der wurzel unglücklich

oder lieg ich total falsch?

mfg cor

16.03.2009, 16:54

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Hallo,
dein j soll die imaginäre Einheit darstellen?

Als kleinen Tipp: Im komplexen sollte man nicht unbedingt die Potenzgesetzte aus dem reellen Anwenden.
Ob du es gemacht hast, kann ich so direkt nicht sagen, aber dies ist oft eine Fehlerquelle.

Und bitte benutze Latex, so steigt keiner durch deine Gleichungen (insbesondere da auch noch die Klammerungen fehlen...)

16.03.2009, 17:46

Cor

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hm ja sorry^^ bin bissl unter zeitdruck gewesen und ja habe die potzengesetze aus dem reellen angewandt^^ und da lag auch mein fehler. danke =) thread kann geschlossen werden denke ich^^

16.03.2009, 18:00

WebFritzi

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IMHO hast du keinen Fehler gemacht. Ich benutze i als imaginäre Einheit:

$\begin{eqnarray*} (1+i)^i = \left( \frac{1}{\sqrt 2}\,e^{i\frac\pi 4} \right)^i = \frac{1}{(\sqrt 2)^i}\, e^{i^2\frac\pi 4} = \frac{1}{e^{i\ln\sqrt 2}}\,e^{-\frac\pi 4} = e^{-\frac\pi 4}\cdot e^{-\frac{\ln 2}{2}i} \end{eqnarray*}$

Außerdem werden hier keine Threads einfach so geschlossen.

16.03.2009, 18:03

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Ein heikles Thema, Potenzen mit nichreellen Exponenten. Formal lautet die Definition so

http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Za...lexe_Exponenten ,

sicher deshlab, damit man einen eindeutigen Wert kriegt. Allerdings ist die Festlegung auf den Hauptwert $\begin{eqnarray*} \ln(z) \end{eqnarray*}$ in dieser Definition ziemliche Willkür - will man möglichst viele der vom reellen her bekannten Gesetze hinüberretten, kommt man um die Betrachtung "mehrwertiger" Potenzen der Art

$\begin{eqnarray*} z^{\omega} := \Big\{ \exp( \omega \cdot (\ln(z) + j~ 2k\pi)) \Bigm| k\in\mathbb{Z} \Big\} \end{eqnarray*}$

nicht herum. Von den Wurzeln her (d.h. rational reelle Exponenten $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ) dürfte diese Betrachtungsweise den meisten vertraut sein. Augenzwinkern

16.03.2009, 18:12

WebFritzi

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Ah, ich seh schon. Genauso wäre hier z.B.

$\begin{eqnarray*} (1+i)^i = \left( \frac{1}{\sqrt 2}\,e^{i(\frac\pi 4 + 2\pi)} \right)^i = \frac{1}{(\sqrt 2)^i}\, e^{i^2(\frac\pi 4+2\pi)} = \frac{1}{e^{i\ln\sqrt 2}}\,e^{-\frac\pi 4-2\pi} = e^{-\frac\pi 4-2\pi}\cdot e^{-\frac{\ln 2}{2}i} \end{eqnarray*}$

möglich.

16.03.2009, 20:55

Cor

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Zitat:

Original von WebFritzi
IMHO hast du keinen Fehler gemacht. Ich benutze i als imaginäre Einheit:

$\begin{eqnarray*} (1+i)^i = \left( \frac{1}{\sqrt 2}\,e^{i\frac\pi 4} \right)^i = \frac{1}{(\sqrt 2)^i}\, e^{i^2\frac\pi 4} = \frac{1}{e^{i\ln\sqrt 2}}\,e^{-\frac\pi 4} = e^{-\frac\pi 4}\cdot e^{-\frac{\ln 2}{2}i} \end{eqnarray*}$

Außerdem werden hier keine Threads einfach so geschlossen.

warum denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ dachte immer der faktor davor wäre der betrag und den bilde ich ja in dem ich sage $\begin{eqnarray*} \sqrt{a²+b²} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{a²+b²}} \end{eqnarray*}$ ?

16.03.2009, 20:58

WebFritzi

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Ja, du hast natürlich recht.

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