Quadrate eines endl. Körpers (Untergruppe bez. +)

16.03.2009, 19:16	guest1402	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadrate eines endl. Körpers (Untergruppe bez. +) Servus Mit folgender Aufgabenstellung muss ich mich auseinandersetzen: Sei $\begin{eqnarray} \mathbb F_{q} \end{eqnarray}$ der endlicher Körper mit q Elementen. Ein $\begin{eqnarray} a\in \mathbb F_{q} \end{eqnarray}$ heißt Quadrat falls gilt $\begin{eqnarray} \exists c \in \mathbb F_{q} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c^{2}=a \end{eqnarray}$ Zu zeigen galt es, unter welche Umständen die Menge der Quadrate $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ eine (echte) Untergruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb F_{q} \end{eqnarray}$ sind bez. Addition. Folgendermaßen sah meine Vorgangsweise aus und ich würde um eine Bestätigung bitte, ob diese auch wirklich richtig ist: Falls die Charakteristik $\begin{eqnarray} C(\mathbb F_{q})=2 \end{eqnarray}$ bekomme ich, mithilfe des Frobeniushomomorphismus heraus, dass jedes Element von $\begin{eqnarray} \mathbb F_{q} \end{eqnarray}$ ein Quadrat ist, sprich $\begin{eqnarray} \mathbb F_{q}=Q \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ unechte Untergruppe. Falls die Charakteristik $\begin{eqnarray} C(\mathbb F_{q})=p\neq 2 \end{eqnarray}$ , so erhalte ich, dass die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \frac{q+1}{2} \end{eqnarray}$ (in einem anderen Beispiel schon berechnet). Wäre nun aber $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb F_{q} \end{eqnarray}$ , dann würde gelten, dass die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ jene von $\begin{eqnarray} \mathbb F_{q} \end{eqnarray}$ teilt. Also: $\begin{eqnarray} \frac{q+1}{2} \mid q = p^{n} \end{eqnarray}$ Weil aber $\begin{eqnarray} \frac{q+1}{2} \end{eqnarray}$ gerade und $\begin{eqnarray} p^{n} \end{eqnarray}$ ungerade für $\begin{eqnarray} p\neq2 \end{eqnarray}$ erhalte ich einen Widerspruch. Stimmt das so, oder hab ich irgendwo eine wichtige Kleinigkeit übersehen? lG Philipp
17.03.2009, 10:31	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadrate eines endl. Körpers (Untergruppe bez. +) Du hast die Kleinigkeit, dass (q+1)/2 nicht immer gerade sein muss, übersehen (z.B.: q=13, (q+1)/2=7). Trotzdem ist (q+1)/2 bestimmt kein Teiler von q. Gruß, Reksilat.
17.03.2009, 11:17	guest1402	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich! Bin schon ganz blind. Kann ich dann aber argumentieren, dass wenn $\begin{eqnarray} frac{q+1}{2} \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ , daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} q+1 \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} 2q[latex], was aber nur für [latex]q=1 \end{eqnarray}$ gelten kann? lG Philipp
17.03.2009, 11:19	guest1402	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für denn fehlerhaften letzten Beitrag! So sollts sein: Natürlich! Bin schon ganz blind. Kann ich dann aber argumentieren, dass wenn $\begin{eqnarray} \frac{q+1}{2} \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ , daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} q+1 \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} 2q \end{eqnarray}$ , was aber nur für $\begin{eqnarray} q=1 \end{eqnarray}$ gelten kann? lG Philipp
17.03.2009, 12:11	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstverständlich.
17.03.2009, 17:32	guest1402	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe! lG Philipp
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