Mindestens, höchstens, kleiner, größer

17.03.2009, 15:03

gugelhupf

Mindestens, höchstens, kleiner, größer

hallo,

ich wollte fragen, wie ihr euch das am besten merkt, wenn ihr solche bezeichnungen in einer wahrscheinlichkeitsrechnung habt. man muss sie ja immer umformen um damit die wahrscheinlichkeit berechnen zu können bzw in den tabellen im tafelwerk ablesen zu können.

wie kann man sich das merken?

17.03.2009, 15:42

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du das?

Mindestens bedeutet: Die Trefferanzahl ist gleich oder größer als eine geforderte Mindestgrenze.

Höchstens bedeutet: Die Trefferanzahl ist gleich oder kleiner als eine geforderte Mindestgrenze.

Aber ich denke die Begriffe kennst du ja...

Ich glaube nicht, dass es da eine Merkhilfe gibt. Vielleicht hilft es eine Art Zahlenstrahl zu machen der die Trefferanzahl k von 0 bis n markiert. Dann wird dein Grenz-k eingezeichnet und du markierst den gesuchten Bereich.

Wie kann der dann durch die "nachschlagbaren" Wahrscheinlichkeiten gebildet werden?

Denke so kann man gut vorgehen.

17.03.2009, 15:49

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist das problem, ich verstehe das mit dem zahlenstrahl nicht.

wenn da steht P(X größergleich 45) .. dann kann ich das ja nicht ablesen.
oder P( X größer 30) oder P (X kleiner 20) oder P(30 kleinergleich X größer 50) ,((

17.03.2009, 16:09

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Markieren!

P für den kompletten Strahl ist "nachschlagbar" (immer 100%)
Sowie alle Strecken, die von 0 ausgehen.

Yeah Paint for the win! (Bsp $\begin{eqnarray*} P(30 \leq k \leq 50) \end{eqnarray*}$ )

Was müsstest du also Nachschlagen und wie verrechnen?

17.03.2009, 16:22

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

F(... 50) - F(...30)??

17.03.2009, 16:31

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja fast. Immer genau hinschauen.

Wenn du $\begin{eqnarray*} P(x \leq 30) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} P(x \leq 50) \end{eqnarray*}$ abziehst, hast du die 30 mit weggenommen. Also muss du an den Grenzen genau aufpassen ob es $\begin{eqnarray*} <,>,\leq, \geq \end{eqnarray*}$ heißt.

An der gleichen Skizze kannst du auch ablesen:
$\begin{eqnarray*} P(x \leq 30 \ \vee \ x \geq 50) \end{eqnarray*}$

17.03.2009, 16:41

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

dann F(..51)- F( 29) beim ersten??

$\begin{eqnarray*} P(x \leq 30 \ \vee \ x \geq 50) \end{eqnarray*}$
was ist denn ein vee??

17.03.2009, 17:00

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine logische Verknüpfung "oder".

Wieso meinst du denn jetzt plötzlich $\begin{eqnarray*} P(x \leq 51) \end{eqnarray*}$ ???

17.03.2009, 17:07

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

also bei deiner ersten wahrscheinlichkeit kommt mir das so vor, dass ich den bereich ausrechnen muss von 30 bis 50

F(50) - F(29)

weiß aber gerade nicht, warum ich nicht 51 nehme, die 50 soll doch noch in der menge drinne enthalten sein?!

bei deinem zweiten 0 bis 30 ODER ab 50

also--> F(30) + F(50)??

18.03.2009, 19:37

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, was du nachschlägst ist wie gesagt immer $\begin{eqnarray*} k \leq ... \end{eqnarray*}$ , also nimmst du die "Grenzzahl" mit weg, wenn du das abziehst und hast sie mit drin, wenn du etwas dazu zählst.

Bei dem oder-Konstrukt addierst du jetzt die beiden markierten Bereiche. Macht das Sinn?

19.03.2009, 00:26

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

also wir hatten halt noch kein oder gehabt, warum braucht man so ein oder?
sind die wahrscheinlichkeiten dann gleich, dass man es sich aussuchen kann oder wieso?

19.03.2009, 00:45

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm naja das war jetzt eher nur hypothetisch. Aber natürlich kann die Frage kommen "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 30 und mehr als 50 Bratwürste nachgefragt werden".

19.03.2009, 07:11

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

P(30>X>50)

nicht so??

X kleiner 30

und x größer 50

19.03.2009, 16:04

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt ganze 0 x, die diese Bedingung erfüllen Augenzwinkern

Alle Menschen die kleiner als 1,70 aber größer als 1,90 sind Augenzwinkern

19.03.2009, 18:52

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

ich finde es irgendwie halblogisch :>

20.03.2009, 09:50

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm naja es ist ne Schreibweise. Aber weil du das x nur einmal verwendest, denkt normalerweise jeder geneigte Leser "Ok, das x ist kleiner als 30 und größer als 50". Daher lieber zweimal nennen und mit nem Komma oder v oder so verknüpfen.

20.03.2009, 17:06

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das x ist kleiner als 30 und größer als 50

oO oh je stimmt, das geht ja gar nicht.

also meinst du ich soll das auswendig lernen??

21.03.2009, 17:43

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ein Feind jeglicher Auswendiglernerei. Hast doch jetzt selbst keine 100%ig auf das Problem zugeschnittene Lösung, die sich zum auswendig lernen eigenet formulieren können. Also: Skizze + gesunder Menschenverstand.

22.03.2009, 02:35

Auf diesen Beitrag antworten »

hi gugelhupf,

sorry, wenn mich einbringe Zellerli

1. $\begin{eqnarray*} P(30 < x \leq 50) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} P(30 \leq x \leq 50) \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} P(30 \leq x < 50) \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} P(30 < x < 50) \end{eqnarray*}$

zahlenstreifen - 1,..,30,31..49,50

1. bereich für x -> 31,..,50 also 50 - 30 (du schneidest das vordere "stück" weg (1,..30))

2. bereich für x -> 30,..,50 also 50 - 29 (du schneidest das vordere "stück" weg (1,..29))

3. bereich für x -> 30,..,49 also 49 - 29 (du schneidest das vordere "stück" weg (1,..29))

4. bereich für x -> 31,..,49 also 49 - 30 (du schneidest das vordere "stück" weg (1,..30))

du suchst dir die obere grenze (50,49), schaust nach der unteren (30,31) und schneidest das stück vor der unter grenze ab.

grüße

_t

22.03.2009, 14:07

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt ein allgemeines Beispiel für eine Trefferanzahl, die zwischen zwei Grenzen liegt.
Sonderfälle (die häufig vorkommen) liegen dann vor, wenn die untere Grenze 0 oder die obere n ist. Aber mit der Allgemeinen Form, hast du es am knappsten mit dem Auswendiglern-Aufwand.

Wenn es dir mit solchen tabellarischen Formulierungen (die du wohl auswendig lernen willst) besser geht, dann mal los Augenzwinkern

Da brauchste kein Sorry, _t, das hilft ja direkt weiter, denn ich hab ja nicht viel beigetragen zur Erleichterung des Auswendig-Lernens Augenzwinkern

05.05.2024, 17:27

ollogollo

Auf diesen Beitrag antworten »

hey
selam maleykum könnten sie das nochmal ausdfürlich erläutern. lg vom mac

05.05.2024, 18:24

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz ausführlich wird in der Sesamstraße für Vorschulkinder erklärt, was größer und kleiner bedeutet. https://www.youtube.com/watch?v=QuzmbNMJoMs

05.05.2024, 21:53

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

Nebenbei: Was ist die kleinste Zahl größer als 30?

06.05.2024, 10:25

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 30+\epsilon \end{eqnarray*}$

06.05.2024, 10:30

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} 30+\epsilon \end{eqnarray*}$

Ist das eine Zahl?

06.05.2024, 10:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von willyengland
Nebenbei: Was ist die kleinste Zahl größer als 30?

Die Antwort hängt auch vom Zahlbereich ab, über den wir reden. In $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ lautet die Antwort offenbar 31. Genau das ist bei vielen Stochastikfragen ja dann auch relevant - um mal zum Ursprung der angejahrten Threadanfrage zurückzukehren. Augenzwinkern

06.05.2024, 16:35

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Nichtstandardanalysis ist $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ eine positive Zahl, die kleiner als jede reelle Zahl ist, also ist dort $\begin{eqnarray*} 30+\epsilon \end{eqnarray*}$ die kleinste Zahl größer als 30. Wie immer in der Mathematik ist das auch eine Frage der Definition.

26.05.2024, 14:50

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

Gehen wir von den reellen Zahlen aus.
Was kann man über die kleinste Zahl größer als 30 sagen?
Kann man sie z.B. als irrational bezeichnen? Transzendent?

26.05.2024, 17:51

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu sagt Wittgenstein im Tractatus logico-philosophicus alles, was man darüber sagen kann: "Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen.“

26.05.2024, 17:57

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
also ist dort $\begin{eqnarray*} 30+\epsilon \end{eqnarray*}$ die kleinste Zahl größer als 30

$\begin{align*} 30 < 30 + \frac{1}{2} \varepsilon < 30 + \varepsilon \end{align*}$

auch wenn $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ infintesimal ist.

27.05.2024, 09:41

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich armer Tropf hatte vergessen, dass auch die Nichtstandardzahlen in $\begin{eqnarray*} ^*\mathbb R \end{eqnarray*}$ angeordnet sind. Du hast völlig recht, und ich kenne keine kleinste Zahl größer als 30.

27.05.2024, 10:20

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche, es mir so vorzustellen:

[attach]57794[/attach]

In der Welt der reellen Zahlen, der Standard-Zahlen, liegt auf dem Zahlenstrahl an einer eindeutig bestimmten Stelle die Zahl $\begin{align*} \pi - 2 = 1{,}1415926 \ldots \end{align*}$ . Drückt man auf sie, öffnet sich die Welt der Nonstandard-Zahlen, die $\begin{align*} \pi-2 \end{align*}$ unendlich nahe sind. Sie liegen auf einem eigenen Zahlenstrahl, dargestellt in der Sprechblase. Sie sind eigene Individuen und, außer $\begin{align*} \pi - 2 \end{align*}$ selbst, nicht mit $\begin{align*} \pi - 2 \end{align*}$ identisch. In der Welt der Standard-Zahlen liegen sie aber alle an derselben Stelle, und zwar genau, nicht nur ungefähr an derselben Stelle, an der auch $\begin{align*} \pi-2 \end{align*}$ liegt. Man kann sie in der Welt der Standard-Zahlen nicht von $\begin{align*} \pi-2 \end{align*}$ unterscheiden. Die $\begin{align*} \pi-2 \end{align*}$ unendlich nahe Zahl $\begin{align*} \alpha = \pi - 2 + \varepsilon \end{align*}$ mit infinitesimalem $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ ist größer als $\begin{align*} \pi-2 \end{align*}$ , aber kleiner als jede reelle Zahl, die größer als $\begin{align*} \pi-2 \end{align*}$ ist, wie nahe bei $\begin{align*} \pi-2 \end{align*}$ diese auch immer liegen mag:

$\begin{align*} \begin{matrix} \pi - 2 & < & \pi - 2 + \varepsilon & < & 1{,}15 \ldots \\ \pi - 2 & < & \pi - 2 + \varepsilon & < & 1{,}1415927 \ldots \\ \pi - 2 & < & \pi - 2 + \varepsilon & < & 1{,}141592653589793238463 \ldots \\ & & & \vdots & \end{matrix} \end{align*}$

Das ist der Unterschied zwischen unendlich nahe (statische Sichtweise der Nonstandard-Analysis) und beliebig nahe (dynamische Sichtweise der Standard-Analysis).

27.05.2024, 10:32

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr. Diese Vorstellung mit punktgrossen Blasen passt sehr gut in meinen begrenzten Kopf. Unendlich nahe bekommt dadurch eine weitere sinnvolle Bedeutung.

27.05.2024, 13:58

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir mal in der Standardwelt.
Kann man sagen, ob die allernächste Zahl rational oder irrational ist?

Oder:
Es wird ja immer gesagt, dass es viel mehr transzendente Zahlen gibt als rationale.
Dann müssten ja fast alle transzendenten Zahlen genau nebeneinander liegen, oder?

27.05.2024, 14:17

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so ist das nicht. Die rationalen Zahlen sind dicht in den reellen Zahlen. In jeder noch so kleinen Umgebung einer transzendenten Zahl liegt eine rationale Zahl.

27.05.2024, 16:05

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ... aber wie passen die dann noch "dazwischen"?
Es wird ja gesagt, dass die transzendenten Zahlen noch unvorstellbar viel mehr sind als alle anderen.
Wo sind die denn dann alle?
Wie kann es davon mehr geben, wenn sie nie nebeneinander liegen? Das klingt erst mal unlogisch.
Ist das ein Unendlichkeitsparadox?

27.05.2024, 16:59

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{align*} \text{Eulersche Zahl} \ \operatorname{e} = 2{,}71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772 \ldots \end{align*}$

Die Eulersche Zahl ist transzendent. Ändert man sie an nur einer Stelle ab, bleibt sie transzendent. Beispiel: An der vierten Nachkommastelle ersetzen wir die 2 durch die 5 und erhalten so die Zahl $\begin{align*} \operatorname{e}' = \operatorname{e} + 0{,}0003 \end{align*}$ . Nimmt man nun an, $\begin{align*} \operatorname{e}' \end{align*}$ wäre algebraisch, so wäre auch $\begin{align*} \operatorname{e} = \operatorname{e}' - 0{,}0003 \end{align*}$ algebraisch, denn die algebraischen Zahlen bilden einen Körper, so daß die Differenz zweier algebraischer Zahlen wieder algebraisch ist. Aus dem Widerspruch schließt man, daß $\begin{align*} \operatorname{e}' \end{align*}$ transzendent sein muß. Die Änderung in einer einzigen Dezimale kann man beliebig weit nach rechts verlegen, so daß man lauter transzendente Zahlen erhält, die beliebig nahe an $\begin{align*} \operatorname{e} \end{align*}$ herankommen.

Auf der anderen Seite kann man in der Dezimalbruchentwicklung von $\begin{align*} \operatorname{e} \end{align*}$ an einer beliebigen Stelle abbrechen und erhält so rationale Zahlen, zum Beispiel

$\begin{align*} \operatorname{e}'' = 2{,}7182818284590452353602 \end{align*}$

Hier wurde nach der 22. Stelle einfach Schluß gemacht. Beachte die fehlenden Pünktchen am Ende. Dieses Abbrechen kann man so weit nach rechts verschieben, wie man will, und erhält so lauter rationale Zahlen, die beliebig nahe bei $\begin{align*} \operatorname{e} \end{align*}$ liegen.

27.05.2024, 18:59

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist so.

Was ich nicht verstehe:
Fast alle reellen Zahlen sind transzendent (überabzählbar).
Wenn aber neben jeder transzendenten Zahl eine rationale liegt, wie kann es dann mehr transzendente geben?

Ich glaube, man sollte da nicht zuviel drüber nachdenken, da bekommt man einen Knoten im Kopf.
Der Mensch ist für die Unendlichkeit nicht gemacht.

27.05.2024, 21:55

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn alle reellen Zahlen auf einer unendlich langen Geraden liegen, dann liegen auf jedem Millimeter unendlich viele rationale Zahlen, unendlich viele algebraische Zahlen und unendlich viele transzendente Zahlen. Die rationalen und algebraischen Zahlen pro Millimeter kann man abzählen, die transzendenten Zahlen nicht, denn davon gibt es auf jedem Millimeter genau so viele wie es insgesamt reelle Zahlen gibt. Ja die Unendlichkeit ist im Großen und im Kleinen ziemlich groß. Und heute haben wir gelernt, dass in jedem Punkt noch einmal unendlich viele Zahlen versteckt sind, die man mit der richtigen Lupe sehen kann.

09.06.2024, 15:11

andyrue

Auf diesen Beitrag antworten »

geht hier also um die kleinste zahl, die größer ist als 30

als nichtmathematiker stell ich mal die frage warum diese verstrahlten nichtstandardzahlen rangezogen werden

wär nicht die kleinste zahl

30 + k

wenn gilt

$\begin{eqnarray*} k= \lim_{x \to 0} x \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

oder gehört das rechnen mit grenzwerten nicht zur analysis? (habe bei meiner recherche die 'nichtstandardzahlen' gar nicht gefunden, sondern nur 'nichtstandardanalysis' und da ging's um grenzwerte)

in meinem analysis-buch wird wird das aber gemacht.

im von Leopold beschriebenen modell gibt es zahlen(objekte) die sich in einem punkt befinden, d.h. in (30|0) befinden sich unendlich viele punkte die alle auf einem zahlenstrahl liegen der sich in einem punkt befindet.

das ist ja gedanklich ganz nett, gibt es irgendeinen grund für eine solche konstruktion? zumal es mir widersprüchlich erscheint dass sich in einem punkt ein strahl befinden soll

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Mindestens, höchstens, kleiner, größer

Verwandte Themen